Каков объем пирамиды с равнобедренным основанием, у которого все боковые ребра равны 2√7, а боковая сторона основания

Skolzyaschiy_Tigr

52

Чтобы найти объем пирамиды с равнобедренным основанием, нам нужно знать основание и высоту пирамиды. Давайте начнем с того, чтобы найти высоту пирамиды.

У нас есть равнобедренное основание, и мы знаем, что боковая сторона основания равна 4, а угол при основании составляет 30 градусов. Чтобы найти высоту, мы можем использовать тригонометрию.

Если мы разделим равнобедренное основание пирамиды на две равные половины, мы можем построить прямоугольный треугольник с одним из этих полуоснований и высотой пирамиды. Угол между половинами основания составляет 30 градусов, что означает, что у нас есть прямоугольный треугольник с углами 30, 60 и 90 градусов, где хотим найти высоту.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - половина основания пирамиды, BC - боковая сторона основания пирамиды, и AC - высота, которую мы хотим найти.

Используя тригонометрию, мы можем найти высоту, рассматривая прямоугольный треугольник ABC.

Так как у нас есть противолежащий катет (AB) и угол, мы можем использовать тангенс, который определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс угла 30 градусов равен отношению высоты пирамиды к половине боковой стороны основания пирамиды. Поэтому:

\[\tan(30) = \frac{AC}{\frac{BC}{2}}\]

У нас известно, что боковая сторона основания равна 4, поэтому можем подставить значение:

\[\tan(30) = \frac{AC}{2}\]

Вычислим тангенс угла 30 градусов:

\[\tan(30) = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Теперь, чтобы найти высоту, домножим обе стороны уравнения на 2:

\[\frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3}} = AC\]

Упростим:

\[AC = \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты пирамиды, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

Где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Поскольку у нас равнобедренное основание, мы можем найти площадь основания с помощью следующей формулы:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота основания}\]

Мы знаем, что боковая сторона основания равна 4, а высота основания - \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Упростим это выражение:

\[S_{\text{основания}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Теперь, мы можем найти объем пирамиды, используя найденные значения:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Чтобы упростить это выражение, перемножим числитель и знаменатель:

\[V = \frac{8}{3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\]

Упростим:

\[V = \frac{8}{9}\]

Таким образом, объем пирамиды с равнобедренным основанием, у которого все боковые ребра равны \(2\sqrt{7}\), боковая сторона основания равна 4, а угол при основании составляет 30 градусов, равен \(\frac{8}{9}\).