Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с углом наклона ребра в 30 градусов, если известна площадь боковой

Velvet

49

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды с углом наклона ребра в 30 градусов, начнем с определения формулы для объема пирамиды. Объем \(V\) пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\]

Где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды. В нашем случае пирамида имеет правильную четырехугольную основу, поэтому площадь основания будет просто равна площади боковой грани. Обозначим ее как \(S\).

Теперь нам нужно найти высоту \(h\) пирамиды. Для этого рассмотрим треугольник, образованный боковой гранью и двумя ребрами основания пирамиды. Угол между боковой гранью и ребром основания равен 30 градусов. Так как пирамида правильная, то угол между этим ребром и высотой будет прямым (90 градусов).

Теперь мы можем решить этот треугольник, используя тригонометрические соотношения. Обозначим длину ребра основания как \(a\). Тогда высоту \(h\) можно найти, используя следующую формулу:

\[h = a \times \tan(30^\circ)\]

Подставляем это значение в формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times (a \times \tan(30^\circ))\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем рассчитать объем пирамиды.

Обоснуем эту формулу. Треугольник, образованный боковой гранью и ребрами основания пирамиды, является прямоугольным, поскольку угол между ними равен 90 градусов. Используя тригонометрические соотношения, мы можем найти длину \(h\) в зависимости от \(a\) и наклона угла ребра пирамиды. Затем объем пирамиды рассчитывается, умножая площадь основания на высоту и делая дополнительное деление на 3 для получения трети объема пирамиды.