Каков объем правильной треугольной пирамиды, если ее высота составляет 10 см и угол между апофемой и плоскостью

Тарантул

30

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды с высотой 10 см и углом между апофемой (высотой боковой грани) и плоскостью основания, равным 30 градусам, нам понадобится использовать теорему Пифагора и формулу для объема пирамиды.

Шаг 1: Найдем длину стороны основания пирамиды.
Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то у нас равносторонний треугольник. От вершины пирамиды опустим перпендикуляр на основание. Таким образом, мы получим два прямоугольных треугольника с углом 30 градусов.
Для нашего треугольника с катетом, равным половине стороны основания, применим теорему Пифагора: \(\frac{a^2}{4} + h^2 = a^2\), где \(a\) - сторона основания, \(h\) - высота правильной треугольной пирамиды.
Так как даны \(h = 10 \,см\) и угол 30 градусов, то можем найти сторону основания.

\[a^2 = \frac{4h^2}{3} = \frac{400}{3}\]

Шаг 2: Найдем площадь основания и апофему (высоту боковой грани).
Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(a^2\) - площадь основания.
Апофема в правильной треугольной пирамиде равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.
Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.
Подставляем найденные значения и вычисляем объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{400}{3} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 10 \approx 77.46 \,см^3\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен примерно 77.46 \,см^3.