У треугольника ABC прямой угол, А = 60° и сторона AB равна 9 дм. Найдите длины сторон треугольника и радиус

Snegurochka_246

4

Хорошо, разберемся с этой задачей.

Дано, что у треугольника ABC есть прямой угол, \(\angle A = 60°\) и сторона AB равна 9 дм.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников и свойства треугольников, описанных около окружности.

1. Найдем длины всех сторон треугольника ABC:
- Известно, что у треугольника есть прямой угол, поэтому \(\angle C = 90°\).
- Также известно, что \(\angle A = 60°\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 60° - 90° = 30°\).
- Мы знаем, что сторона AB равна 9 дм.

2. Найдем длины оставшихся сторон треугольника:
- Так как у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти длину оставшихся сторон.
- Мы знаем, что тангенс угла B равен отношению противоположнной стороны (BC) к прилежащей стороне (AB).
То есть, \(\tan(\angle B) = \frac{{BC}}{{AB}}\). Подставив известные значения, получим:
\(\tan(30°) = \frac{{BC}}{{9}}\).
- Решив это уравнение, найдем длину стороны BC.

3. Найдем длины остальных сторон треугольника:
- Так как у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину оставшихся сторон.
- Мы знаем, что квадрат гипотенузы (стороны AC) равен сумме квадратов катетов (сторон AB и BC).
То есть, \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
- Подставив известные значения, получим уравнение, которое можно решить для нахождения длины стороны AC.

4. Найдем радиус R окружности, описанной вокруг треугольника:
- Радиус R описанной окружности равен половине длины гипотенузы прямоугольного треугольника.
- Мы уже знаем длину гипотенузы (сторону AC), поэтому радиус R можно найти, разделив эту длину на 2.

Теперь выполним все вычисления и получим ответ.

1. Найдем длины всех сторон треугольника ABC:
\(\angle B = 180° - 60° - 90° = 30°\).

2. Найдем длины оставшихся сторон треугольника:
\(\tan(30°) = \frac{{BC}}{{9}}\).
\(BC = 9 \times \tan(30°)\).

3. Найдем длины остальных сторон треугольника:
\(AC^2 = 9^2 + (9 \times \tan(30°))^2\).
\(AC = \sqrt{{9^2 + (9 \times \tan(30°))^2}}\).

4. Найдем радиус R окружности, описанной вокруг треугольника:
\(R = \frac{{AC}}{2}\).

Таким образом, мы можем найти длины всех сторон треугольника (AB, BC, AC) и радиус R окружности, описанной вокруг треугольника.

Подставляя конкретные значения в формулы, можно получить численные ответы. Но для полноты решения задачи, рекомендую провести эти вычисления самостоятельно.