Каков объём правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 6, а боковое ребро наклонено к плоскости основания

Pufik

34

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для определения объема пирамиды. Обозначим боковое ребро пирамиды через \(a\) и площадь основания через \(S\).

Формула для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания, а \(h\) - высота.

В нашем случае, мы имеем правильную треугольную пирамиду с высотой равной 6 и боковым ребром, наклоненным к плоскости основания под углом 30 градусов. Поскольку пирамида треугольная и правильная, площадь ее основания можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника, который является основанием пирамиды.

Давайте вычислим площадь основания. Так как пирамида правильная, все ее стороны равны \(a\).

Для этого треугольника, из формулы для площади равностороннего треугольника, мы знаем, что:

\[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

Известно, что боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов. Значит, каждая сторона треугольника составляет угол 60 градусов с плоскостью основания. То есть, это равносторонний треугольник со стороной \(a\).

Теперь, вычислим площадь основания:

\[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

\[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

\[S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

Теперь, когда мы знаем площадь основания, можно найти объем пирамиды, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 6\]

Теперь, нам остается только рассчитать эту формулу, чтобы получить окончательный ответ.