Каков объем правильной треугольной призмы, если объем вписанного цилиндра равен 12 п корень?

Dmitrievna

2

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, нам нужно знать формулу для объема призмы. Формула выглядит следующим образом:

\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \times h,\]

где \(S_{\text{основания}}\) представляет собой площадь основания призмы, а \(h\) - высоту призмы.

Дано, что объем вписанного цилиндра равен 12пкорень. Чтобы связать объемы призмы и цилиндра, нам понадобится формула для объема цилиндра:

\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h_{\text{цилиндра}},\]

где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h_{\text{цилиндра}}\) - его высота.

Мы знаем, что цилиндр вписан в призму, поэтому высота цилиндра будет равна высоте призмы. Пусть \(h\) будет высотой призмы и цилиндра.

Из условия задачи мы знаем, что объем цилиндра равен 12пкорень. Запишем это в уравнение:

\[12\pi r^2 h = 12\sqrt{p}.\]

Для нахождения объема правильной треугольной призмы нам также нужно знать площадь основания призмы. Для правильной треугольной призмы площадь основания можно найти по формуле:

\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2,\]

где \(a\) - длина стороны основания призмы.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(r\) и \(a\)):

\[\begin{cases} 12\pi r^2 h = 12\sqrt{p}, \\ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2. \end{cases}\]

Чтобы найти значение \(h\), можно разделить первое уравнение на второе:

\[\frac{12\pi r^2 h}{S_{\text{основания}}} = \frac{12\sqrt{p}}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}.\]

С учетом того, что \(h\) и \(a\) относятся к одному и тому же телу, можно записать:

\[\frac{12\pi r^2 h}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2} = \frac{12\sqrt{p}}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}.\]

Мы можем сократить дроби и получим:

\[h = \sqrt{p}\pi.\]

Теперь у нас есть значение \(h\). Давайте подставим его обратно в первое уравнение:

\[12\pi r^2 \sqrt{p}\pi = 12\sqrt{p}.\]

Упростим это уравнение:

\[r^2 = \frac{1}{\pi}.\]

Теперь у нас есть значение \(r\).

Чтобы найти площадь основания призмы, подставим полученное значение \(r\) в формулу для площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}r\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{3}r^2 = \frac{\sqrt{3}r^2}{3}.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем призмы:

\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \times h = \frac{\sqrt{3}r^2}{3} \times \sqrt{p}\pi.\]

Подставим значение \(r\), которое мы нашли ранее, и упростим выражение:

\[V_{\text{призмы}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\pi} \times \sqrt{p}\pi = \frac{\sqrt{3}\sqrt{p}}{3}.\]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы равен \(\frac{\sqrt{3}\sqrt{p}}{3}\).