Каков объем правильной треугольной призмы, если объем вписанного цилиндра равен 12 п корень?

Dmitrievna

2

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, нам нужно знать формулу для объема призмы. Формула выглядит следующим образом:

$$V_{\text{призмы}}=S_{\text{основания}}\times h,$$

где $S_{\text{основания}}$ представляет собой площадь основания призмы, а $h$ - высоту призмы.

Дано, что объем вписанного цилиндра равен 12пкорень. Чтобы связать объемы призмы и цилиндра, нам понадобится формула для объема цилиндра:

$$V_{\text{цилиндра}}=\pi r^2{h}_{\text{цилиндра}},$$

где $r$ - радиус основания цилиндра, а $h_{\text{цилиндра}}$ - его высота.

Мы знаем, что цилиндр вписан в призму, поэтому высота цилиндра будет равна высоте призмы. Пусть $h$ будет высотой призмы и цилиндра.

Из условия задачи мы знаем, что объем цилиндра равен 12пкорень. Запишем это в уравнение:

$$12\pi r^{2}h=12\sqrt{p}.$$

Для нахождения объема правильной треугольной призмы нам также нужно знать площадь основания призмы. Для правильной треугольной призмы площадь основания можно найти по формуле:

$$S_{\text{основания}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2,$$

где $a$ - длина стороны основания призмы.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными ($r$ и $a$):

$$\{\begin{array}{l}12\pi r^{2}h=12\sqrt{p},\\ S_{\text{основания}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2.\end{array}$$

Чтобы найти значение $h$, можно разделить первое уравнение на второе:

$$\frac{12\pi r^{2}h}{S_{\text{основания}}}=\frac{12\sqrt{p}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2}.$$

С учетом того, что $h$ и $a$ относятся к одному и тому же телу, можно записать:

$$\frac{12\pi r^{2}h}{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2}=\frac{12\sqrt{p}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2}.$$

Мы можем сократить дроби и получим:

$$h=\sqrt{p}\pi .$$

Теперь у нас есть значение $h$. Давайте подставим его обратно в первое уравнение:

$$12\pi r^2\sqrt{p}\pi =12\sqrt{p}.$$

Упростим это уравнение:

$$r^2=\frac{1}{\pi }.$$

Теперь у нас есть значение $r$.

Чтобы найти площадь основания призмы, подставим полученное значение $r$ в формулу для площади основания:

$$S_{\text{основания}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}r\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4}{3}{r}^2=\frac{\sqrt{3}{r}^2}{3}.$$

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем призмы:

$$V_{\text{призмы}}=S_{\text{основания}}\times h=\frac{\sqrt{3}{r}^2}{3}\times \sqrt{p}\pi .$$

Подставим значение $r$, которое мы нашли ранее, и упростим выражение:

$$V_{\text{призмы}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{\pi }\times \sqrt{p}\pi =\frac{\sqrt{3}\sqrt{p}}{3}.$$

Таким образом, объем правильной треугольной призмы равен $\frac{\sqrt{3}\sqrt{p}}{3}$.