Каков объем прямого параллелепипеда ABCD, если стороны AB и AD равны 4 и угол BАD равен 60°, а угол D1OD равен 60°?

Солнечный_Феникс

35

Чтобы найти объем прямого параллелепипеда ABCD, нужно умножить его длину, ширину и высоту. Давайте начнем с поиска высоты.

На рисунке ниже показан параллелограмм ABD1D, где D1 - точка на прямой AD, такая что угол BАD1 равен 90°.

\[D1\]
\ \\
\ \\
\ \\
\ \\
\ O
\ |\
\ | \
\ | \
\| \
A----B
/ /
/ /
/ /

Так как стороны AB и AD имеют равную длину и угол BАD равен 60°, то треугольник BАD является равносторонним. Значит, угол BАD1 тоже будет равен 60°, так как D1D является высотой треугольника. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник BАD1 с углами 60°, 30° и 90°.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BOD1. У нас уже есть угол D1OD, который равен 60°. Для нахождения угла BOD1, можно воспользоваться теоремой о сумме углов треугольника. В треугольнике BOD1 сумма всех углов равна 180°. Угол BOD1 равен 180° минус угол D1OD, то есть 180° - 60° = 120°.

Теперь, чтобы найти высоту треугольника BOD1, можно использовать формулу синуса. Формула синуса гласит: \(\frac{{a}}{{\sin(A)}} = \frac{{b}}{{\sin(B)}}\), где a и b - стороны треугольника, A и B - противолежащие им углы.

Мы знаем, что сторона BO равна 4, а угол BOD1 равен 120°. Также, угол BOD1 является противолежащим углом для стороны BO, а угол D1BO является противолежащим углом для стороны BD1. Получаем следующее уравнение: \(\frac{{4}}{{\sin(120°)}} = \frac{{BD1}}{{\sin(60°)}}\).

Мы знаем, что \(\sin(120°) = \sin(180° - 120°) = \sin(60°)\), так как cинус угла равен синусу его дополнения. Обратите внимание, что тут используется свойство симметрии синуса относительно 90°.

Сократим уравнение и получим: 4 = BD1. Значит, сторона BD1 тоже равна 4.

Поскольку BD1 является высотой треугольника BOD1, мы нашли высоту прямого параллелепипеда. Она также равна высоте параллелограмма ABD1D.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема параллелепипеда. Объем вычисляется по формуле: объем = длина x ширина x высота.

Мы знаем, что стороны AB и AD равны 4, а высота равна 4. Подставим эти значения в формулу: объем = 4 x 4 x 4 = 64.

Таким образом, объем прямого параллелепипеда ABCD равен 64 единицам объема.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!