Какова площадь треугольника mnk, если известно, что ab = 10 и BC = 13 в треугольнике ABC, где m, n и k - середины

Мышка

66

Чтобы найти площадь треугольника \(mnk\), нам понадобится знать длины сторон треугольника \(mnk\). Давайте найдем эти длины.

Строим треугольник \(ABC\), где \(m\), \(n\) и \(k\) - середины сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) соответственно.

Известно, что \(ab = 10\) и \(BC = 13\). Из этой информации мы можем найти длину стороны \(AC\). Так как \(k\) - середина стороны \(AC\), то получаем

\[\begin{align*}
AC &= 2 \cdot kC \\
AC &= 2 \cdot BC \\
AC &= 2 \cdot 13 \\
AC &= 26
\end{align*}\]

Теперь нам нужно найти длину стороны \(mn\). Так как \(m\) - середина стороны \(AB\), мы можем записать

\[\begin{align*}
AB &= 2 \cdot mB \\
AB &= 2 \cdot ab \\
AB &= 2 \cdot 10 \\
AB &= 20
\end{align*}\]

Последнее, что нам нужно найти, это длину стороны \(nk\). Так как \(n\) - середина стороны \(BC\), мы можем записать

\[\begin{align*}
BC &= 2 \cdot nC \\
BC &= 2 \cdot 13 \\
BC &= 26
\end{align*}\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника \(mnk\). Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона, так как у нас есть длины всех сторон.

Формула Герона для площади треугольника с длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\) выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, который может быть найден как

\[p = \frac{a + b + c}{2}.\]

Применяя эту формулу к нашему треугольнику \(mnk\) с длинами сторон \(mn = 20\), \(nk = 26\) и \(mk = 26\), получим:

\[\begin{align*}
p &= \frac{mn + nk + mk}{2} \\
&= \frac{20 + 26 + 26}{2} \\
&= \frac{72}{2} \\
&= 36.
\end{align*}\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу Герона:

\[\begin{align*}
S &= \sqrt{36(36-20)(36-26)(36-26)} \\
&= \sqrt{36 \cdot 16 \cdot 10 \cdot 10} \\
&= \sqrt{57600} \\
&= 240.
\end{align*}\]

Таким образом, площадь треугольника \(mnk\) равна 240 квадратных единиц.