Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна √17, площадь основания равна 6 и тангенс угла

Zayac

11

Для решения этой задачи давайте воспользуемся известными формулами и свойствами прямоугольного параллелепипеда. Для начала найдем длину и ширину основания параллелепипеда.

Известно, что площадь основания равна 6. Предположим, что длина основания равна \(a\), а ширина — \(b\) (где \(a > b\)). Тогда у нас есть два уравнения для нахождения \(a\) и \(b\):
1) \(a \cdot b = 6\) (это известная нам площадь основания);
2) \(a^2 + b^2 = 17\) (это уравнение для диагонали, которая равна \(\sqrt{17}\)).

Для дальнейшего решения будет полезно заметить, что тангенс угла между диагональю и основанием равен отношению высоты к ширине. То есть:

\[\tan{\theta} = \frac{h}{b}\]

Где \(\theta\) — угол между диагональю и основанием, \(h\) — высота параллелепипеда.

Так как у нас уже есть уравнение для \(b\), мы можем найти \(h\):
\(\tan{\theta} = \frac{2}{\sqrt{13}}\), поэтому \(\frac{h}{b} = \frac{2}{\sqrt{13}}\), и \[h = \frac{2b}{\sqrt{13}}\].

Теперь у нас есть уравнение с двумя переменными — \(a\) и \(b\):
1) \(a \cdot b = 6\), и
2) \(a^2 + b^2 = 17\).

Давайте решим эту систему уравнений:

Выразим \(a\) из первого уравнения, подставим его во второе уравнение и решим полученное квадратное уравнение относительно \(b\).

Из первого уравнения можно получить:

\(a = \frac{6}{b}\).

Подставим это значение во второе уравнение:

\(\left(\frac{6}{b}\right)^2 + b^2 = 17\).

Раскроем скобки:

\(\frac{36}{b^2} + b^2 = 17\).

Перенесем все слагаемые влево:

\(b^4 - 17b^2 + 36 = 0\).

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Так как \(b\) является шириной основания, она должна быть положительной, поэтому отбросим отрицательное значение.

Решив это уравнение, мы найдем два возможных значения ширины \(b\): \(b_1 \approx 1.98\) и \(b_2 \approx 3.62\).

Теперь осталось найти соответствующие значения длины \(a\) и высоты \(h\).

Для \(b_1 \approx 1.98\) получаем:

\(a_1 = \frac{6}{b_1} \approx 3.03\),
\(h_1 = \frac{2b_1}{\sqrt{13}} \approx 1.05\).

Для \(b_2 \approx 3.62\) получаем:

\(a_2 = \frac{6}{b_2} \approx 1.66\),
\(h_2 = \frac{2b_2}{\sqrt{13}} \approx 1.93\).

Итак, мы нашли две возможные комбинации сторон параллелепипеда:

1) \(a_1 \approx 3.03\), \(b_1 \approx 1.98\), \(h_1 \approx 1.05\);
2) \(a_2 \approx 1.66\), \(b_2 \approx 3.62\), \(h_2 \approx 1.93\).

Теперь, чтобы найти объем параллелепипеда, мы умножаем длину, ширину и высоту:

1) Объем первой комбинации: \(V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot h_1 \approx 3.03 \cdot 1.98 \cdot 1.05 \approx 6.38\).
2) Объем второй комбинации: \(V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot h_2 \approx 1.66 \cdot 3.62 \cdot 1.93 \approx 11.69\).

Итак, мы получаем два возможных значения объема прямоугольного параллелепипеда: \(V \approx 6.38\) и \(V \approx 11.69\).