Каков объем прямой призмы, у которой основание представляет собой равнобедренную трапецию с одним основанием в два раза

Murchik_7183

13

Для решения данной задачи, нам необходимо разобрать компоненты прямой призмы и использовать соответствующие формулы для нахождения объема.

Пусть основание призмы - равнобедренная трапеция, где одно основание равно \(a\) см, а другое - \(2a\) см. Высота трапеции обозначим как \(h\) см. Таким образом, площадь основания можно выразить как:
\[S_{\text{осн}} = \frac{(a + 2a) \cdot h}{2} = \frac{3ah}{2}\]

Также, у нас есть информация о боковой поверхности призмы, площадь которой составляет 144 см^2. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда (или призмы) можно найти по формуле:
\[S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\text{бок кв}} + S_{\text{бок пр}}} = 2 \cdot 6^2 + a \cdot h = 72 + ah\]
Зная, что \(S_{\text{бок}} = 144\) см^2, мы можем записать уравнение:
\[72 + ah = 144\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно переменной \(a\):
\[ah = 72 \Rightarrow a = \frac{72}{h}\]

Подставим полученное значение \(a\) в формулу для площади основания:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3ah}{2} = \frac{3 \cdot \frac{72}{h} \cdot h}{2} = \frac{216}{2} = 108 \, \text{см}^2\]

Используя полученные значения: \(a = \frac{72}{h}\) и \(S_{\text{осн}} = 108 \, \text{см}^2\), можно определить объем призмы. Объем (V) призмы можно найти по формуле:
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h = 108 \, \text{см}^2 \cdot h\]

Таким образом, задача сводится к нахождению значения высоты \(h\). Для этого воспользуемся уравнением \(ah = 72\):
\[\frac{72}{h} \cdot h = 72 \Rightarrow h^2 = \frac{72}{h} \Rightarrow h^3 = 72 \Rightarrow h = \sqrt[3]{72}\]

Теперь, мы можем вычислить значение объема:
\[V = 108 \, \text{см}^2 \cdot \sqrt[3]{72} \approx 75,819 \, \text{см}^3\]

Итак, объем прямой призмы составляет приблизительно 75,819 см^3.