Каков объем работы, выполненной силами поля над частицей, перемещающейся из точки А, заданной координатами (1,2

Загадочная_Луна

49

Чтобы вычислить объем работы, выполненной силами поля над частицей при перемещении, нам необходимо использовать формулу для работы:

\[ W = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{r} \]

где \(\vec{F}\) - сила, действующая на частицу, а \(d\vec{r}\) - элементарный перемещение от точки A к точке B.

Найдем силу, действующую на частицу, посчитав градиент потенциальной энергии \(U = 2x^2 + 3y\):

\(\vec{F} = -\nabla U\)

Для начала вычислим градиент \(U\):

\(\nabla U = \left(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}\right)\)

\(\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y) = 4x\)

\(\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + 3y) = 3\)

Теперь мы можем найти силу \(\vec{F}\):

\(\vec{F} = \left(-\frac{\partial U}{\partial x}, -\frac{\partial U}{\partial y}\right) = (-4x, -3)\)

Заметим, что направление силы \(\vec{F}\) будет противоположно направлению ее движения, поэтому мы можем записать \(\vec{F} = (4x, 3)\).

Теперь мы можем подставить найденную силу \(\vec{F}\) в формулу для работы:

\[ W = \int_{A}^{B} (4x, 3) \cdot d\vec{r} \]

Найдем элементарное перемещение \(d\vec{r}\) от точки A до точки B. Вычитая координаты точки B из координат точки A, мы получим:

\(d\vec{r} = (2-1, 3-2) = (1, 1)\)

Теперь мы можем вычислить работу:

\[ W = \int_{A}^{B} (4x, 3) \cdot (1, 1) \]

\[ W = \int_{A}^{B} (4x + 3) \cdot dx \]

Интегрируя по переменной x от точки A до точки B, получаем:

\[ W = \left[\int (4x + 3) \cdot dx\right]_{x=1}^{x=2} \]

\[ W = \left[2x^2 + 3x\right]_{x=1}^{x=2} \]

\[ W = (2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2) - (2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1) \]

\[ W = (8+6)-(2+3) \]

\[ W = 11 \]

Таким образом, объем работы, выполненной силами поля над частицей при перемещении из точки А в точку Б, равен 11.