Каков объем шара с радиусом, проведенным к точке а и образующим с хордой ab угол 45°, если расстояние между точками

Ян_2041

31

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу объема шара. Объем шара определяется следующим образом: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3,$$ где $V$ - объем шара, $\pi$ - математическая константа, приблизительно равная 3.14159, $r$ - радиус шара.

Для нахождения величины $r$ мы можем использовать факт, что проведенный радиус $r$ шара к точке $a$ образует с хордой $ab$ угол 45°.

По геометрическим свойствам окружности, из точки, лежащей на окружности, проведенный радиус образует прямой угол с хордой. Также, угол между радиусом и хордой, опирающийся на ту же дугу, в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Зная, что угол $b$ равен 45°, мы можем вычислить центральный угол $A$ по формуле: $$A=2b.$$ Так как у нас имеется заданный угол $b=45°$, мы можем вычислить $A$: $$A=2\times 45°=90°.$$

Теперь, когда у нас есть центральный угол $A$, мы можем использовать теорему о правильном треугольнике, чтобы найти радиус $r$. В правильном треугольнике углы равны 60°, поэтому у нас есть угол $B=(180°-A)/2$. Зная значение $B$, мы можем использовать формулу для радиуса $r$: $$r=\frac{c}{2\sin B},$$ где $c$ - расстояние между точками $a$ и $b$.

Теперь, рассчитаем значения $B$ и $r$. Подставляя в формулу, получим:

$$B=\frac{180°-A}{2}=\frac{180°-90°}{2}=\frac{90°}{2}=45°.$$
$$r=\frac{c}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin 45°}.$$

Задача поставляет условие, что расстояние между точками $a$ и $b$ равно $\frac{c}{2}$, поэтому можем заменить $c$ с $\frac{c}{2}$:
$$r=\frac{\frac{c}{2}}{2\sin 45°}=\frac{c}{4\sin 45°}.$$

Теперь, у нас есть значение радиуса $r$. Для нахождения объема шара $V$, мы можем использовать формулу объема, подставив найденное значение радиуса $r$:
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{c}{4\sin 45°}\right)}^3.$$

Таким образом, мы находим объем шара с радиусом, проведенным к точке $a$ и образующим с хордой $ab$ угол 45°. Если вам дано конкретное значение для расстояния $c$, вы можете использовать эту формулу, чтобы вычислить конкретное значение объема $V$.