1. Неизвестные элементы треугольника АВС требуется найти, если угол А равен 40°, угол С равен 75° и ВС равно

Veselyy_Zver

38

А перед тем, как перейдем к решению задач, давайте вспомним основные теоретические положения, на которых будут базироваться решения.

1. Теорема синусов: В любом треугольнике длины сторон обратно пропорциональны синусам противолежащих углов.

2. Теорема косинусов: В любом треугольнике квадрат любой стороны равен сумме квадратов остальных двух сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теперь перейдем к решению задач.

Задача 1:
Дано: угол А = 40°, угол С = 75°, ВС = 17 см.

Требуется найти: неизвестные элементы треугольника АВС.

Решение:
Используем теорему синусов. По этой теореме, отношения длины стороны к синусу противолежащего ей угла одинаковы для всех сторон треугольника.

\[\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

Зная, что угол С = 75°, угол А = 40°, и BC = 17 см, мы можем найти остальные неизвестные элементы.

Мы хотим найти АВ и АС. Обозначим АВ = x см и АС = y см.

\[\frac{x}{\sin 75°} = \frac{17}{\sin 40°}\]
\[\frac{y}{\sin 75°} = \frac{17}{\sin 65°}\]

Теперь решим эти уравнения относительно x и y с помощью тригонометрических функций синуса и измерения углов в радианах. Получим:

\[x ≈ 17 \cdot \frac{\sin 75°}{\sin 40°} \approx 22.16 \, \text{см}\]
\[y ≈ 17 \cdot \frac{\sin 75°}{\sin 65°} \approx 19.14 \, \text{см}\]

Таким образом, неизвестные элементы треугольника АВС равны: АВ ≈ 22.16 см и АС ≈ 19.14 см.

Задача 2:
Дано: АВ = 4 см, ВС = 5 см, угол В = 110°.

Требуется найти: неизвестные элементы треугольника АВС.

Решение:
Используем теорему косинусов. По этой теореме, мы можем найти длину третьей стороны и углы треугольника.

Согласно теореме косинусов,

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos B\]

Зная, что AB = 4 см, BC = 5 см и угол B = 110°, мы можем найти остальные неизвестные элементы.

Мы хотим найти АС и угол А. Обозначим АС = x см и угол А = угол С = угол ВСА = y.

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos y\]
\[x^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos y\]

Используя значение угла B в радианах (110° ≈ 1.91986 радиан), мы можем решить это уравнение относительно x:

\[x^2 ≈ 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 1.91986\]
\[x^2 ≈ 16 + 25 - 40 \cdot \cos 1.91986\]
\[x^2 ≈ 41 - 40 \cdot \cos 1.91986\]
\[x^2 ≈ 11.78\]
\[x ≈ \sqrt{11.78} ≈ 3.43 \, \text{см}\]

Таким образом, АС ≈ 3.43 см.

Для нахождения угла А воспользуемся теоремой косинусов:

\[\cos y = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}\]
\[\cos y = \frac{3.43^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3.43 \cdot 5}\]
\[\cos y ≈ 0.899\]
\[y ≈ \arccos 0.899 ≈ 0.455 \, \text{радиан} ≈ 26.07°\]

Таким образом, угол А ≈ 26.07°.

Задача 3:
Дано: ВС = 4.125 м, угол B = 44°, угол A = 65°.

Требуется найти: площадь треугольника АВС.

Решение:
Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем использовать формулу полупериметра треугольника и радиус вписанной окружности.

Формула полупериметра треугольника:

\[s = \frac{AB + BC + AC}{2}\]

Радиус вписанной окружности (R) можно найти при помощи формулы:

\[R = \frac{BC}{2 \cdot \sin \frac{A}{2}}\]

Наконец, площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

\[S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)}\]

Мы ищем площадь треугольника, поэтому нам понадобятся только значения ВС, угла B и угла A.

\[s = \frac{BC + AC + AB}{2} = \frac{4.125 + AC + AB}{2}\]
\[R = \frac{BC}{2 \cdot \sin \frac{A}{2}} = \frac{4.125}{2 \cdot \sin \frac{65}{2}}\]
\[S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)}\]

Подставим значения и решим эту задачу:

\[s = \frac{4.125 + AC + AB}{2} = \frac{4.125 + AC + AB}{2}\]
\[R = \frac{4.125}{2 \cdot \sin \frac{65}{2}}\]
\[S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)}\]

Соответствующие значения заменим и вычислим:

\[s ≈ \frac{4.125 + AC + AB}{2}\]
\[R ≈ \frac{4.125}{2 \cdot \sin 32.5°}\]
\[S ≈ \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)}\]

Подставив полученные значения, вычислим площадь треугольника АВС.

Пожалуйста, проверьте тщательно промежуточные и окончательные результаты расчетов. Если у вас возникнут сложности или вопросы, не стесняйтесь обратиться за дополнительной помощью.