Каков объем золота, потраченного при покрытии поверхности, площадью 20 дм², слоем толщиной в 5 атомов? При расчёте
Каков объем золота, потраченного при покрытии поверхности, площадью 20 дм², слоем толщиной в 5 атомов? При расчёте используйте диаметр атома золота, равный 0,3 нм (один нанометр равен миллионной части миллиметра), и выразите ответ в кубических миллиметрах. Пожалуйста, решите задачу.
Rys 29
Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить объем золота, покрывающего поверхность площадью 20 дм² слоем толщиной в 5 атомов.Вначале, определим площадь золотого слоя, используя формулу площади поверхности цилиндра:
\[ S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \]
Где \( r \) - радиус атома золота и задан равным половине диаметра (так как атом золота можно представить в виде шара), \( h \) - толщина слоя.
Рассчитаем радиус атома золота:
\[ r = \frac{0,3 \, \text{нм}}{2} = \frac{0,3 \times 10^{-6} \, \text{мм}}{2} = 0,15 \times 10^{-6} \, \text{мм} \]
Теперь вычислим площадь золотого слоя:
\[ S = 2 \pi \times 0,15 \times 10^{-6} \, \text{мм} \times 5 \, \text{атомов} + 2 \pi \times (0,15 \times 10^{-6} \, \text{мм})^2 \]
\[ S = 3 \pi \times 0,15 \times 10^{-6} \, \text{мм} \times 5 \, \text{атомов} + \pi \times (0,15 \times 10^{-6} \, \text{мм})^2 \]
\[ S = 4,5 \pi \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 \times 5 \, \text{атомов} + 0,0225 \pi \times 10^{-12} \, \text{мм}^2 \]
\[ S = 22,5 \pi \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 + 0,0225 \pi \times 10^{-12} \, \text{мм}^2 \]
\[ S = 22,5 \times 3,14 \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 + 0,0225 \times 3,14 \times 10^{-12} \, \text{мм}^2 \]
\[ S = 70,65 \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 + 0,07065 \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 \]
\[ S = 70,72065 \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 \]
Переведём полученную площадь в квадратные миллиметры:
\[ S = 70,72065 \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 = 70,72065 \, \text{мм}^2 \]
Теперь рассчитаем объем золота, потраченного на покрытие данной площади слоем толщиной в 5 атомов. Для этого умножим площадь на толщину слоя:
\[ V = S \times h \]
В данном случае, величина толщины слоя равна 5 атомам. Один атом золота имеет шаровую форму, поэтому величина толщины слоя равна диаметру атома:
\[ h = 5 \times 0,3 \, \text{нм} = 5 \times 0,3 \times 10^{-6} \, \text{мм} = 1,5 \times 10^{-6} \, \text{мм} \]
Теперь подставим значения площади и толщины в формулу для объема:
\[ V = 70,72065 \times 10^{-6} \, \text{мм}^2 \times 1,5 \times 10^{-6} \, \text{мм} \]
\[ V = 0,10608 \times 10^{-12} \, \text{мм}^3 = 0,10608 \times 10^{6} \, \text{нм}^3 \]
Значит, объем золота, потраченного при покрытии поверхности площадью 20 дм² слоем толщиной в 5 атомов, равен \(0,10608 \times 10^{6}\) нм³.