Каков периметр и угол треугольника с вершинами в точках a (3,7,-4), b (5,-3,2), c (1,3,10)?

Чайник_4563

23

Чтобы найти периметр и углы треугольника с заданными координатами вершин, сначала нам нужно вычислить длины сторон треугольника.

Длина стороны треугольника можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Для двух точек \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) и \( P_2(x_2, y_2, z_2) \), расстояние между ними выражается следующей формулой:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Теперь давайте найдем длины сторон треугольника. Вычислим расстояния между вершинами \( a \) и \( b \), \( a \) и \( c \), \( b \) и \( c \).

\[ d_{ab} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-3 - 7)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} \approx 11.83 \]

\[ d_{ac} = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 7)^2 + (10 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 14^2} = \sqrt{4 + 16 + 196} = \sqrt{216} \approx 14.70 \]

\[ d_{bc} = \sqrt{(1 - 5)^2 + (3 - (-3))^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} \approx 10.77 \]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, просуммируем длины всех его сторон:

\[ P = d_{ab} + d_{ac} + d_{bc} \approx 11.83 + 14.70 + 10.77 \approx 37.30 \]

Таким образом, периметр треугольника с вершинами в точках \( a(3,7,-4) \), \( b(5,-3,2) \) и \( c(1,3,10) \) составляет около 37.30.

Теперь рассмотрим углы треугольника. В трехмерном пространстве угол между двумя векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) может быть найден с помощью формулы скалярного произведения:

\[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \]

где \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) - это векторы, соединяющие вершины \( A \), \( B \) и \( C \), и \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AC}| \) - их длины.

Выполнив несколько вычислений:

Давайте найдем векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AB} = (5 - 3, -3 - 7, 2 - (-4)) = (2, -10, 6) \]

\[ \overrightarrow{AC} = (1 - 3, 3 - 7, 10 - (-4)) = (-2, -4, 14) \]

Теперь найдем их длины:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} \approx 11.83 \]

\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 14^2} = \sqrt{4 + 16 + 196} = \sqrt{216} \approx 14.70 \]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot (-2) + (-10) \cdot (-4) + 6 \cdot 14 = -4 + 40 + 84 = 120 \]

Теперь мы можем вычислить угол:

\[ \cos\theta = \frac{120}{11.83 \cdot 14.70} \approx 0.6870 \]

Теперь найдем значение угла \( \theta \):

\[ \theta = \arccos(0.6870) \approx 46.76^\circ \]

Таким образом, угол \( \theta \approx 46.76^\circ \) между сторонами, соединяющими вершины \( a(3,7,-4) \), \( b(5,-3,2) \) и \( c(1,3,10) \).