Каков периметр квадрата, в котором вершины расположены в серединах сторон квадрата, диагональ которого равна

Magnitnyy_Marsianin

55

Чтобы найти периметр квадрата, в котором вершины расположены в серединах сторон, нам нужно знать длину диагонали. Дано, что диагональ равна 18 см.

Для начала, давайте построим квадрат и обозначим неизвестные стороны и диагонали. Пусть сторона квадрата равна \( x \) см, а диагональ равна 18 см. Квадрат можно представить в виде двух прямоугольных треугольников, соединяющих его диагонали.

Теперь давайте рассмотрим один из прямоугольных треугольников. У него гипотенуза равна половине диагонали (так как вершины расположены в серединах сторон), то есть \( \frac{18}{2} = 9 \) см. Другая сторона треугольника равна половине стороны квадрата, то есть \( \frac{x}{2} \) см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике верно уравнение: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) - катеты, а \( c \) - гипотенуза. Давайте применим эту теорему к нашему треугольнику:

\[
\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(9\right)^2 = \left(18\right)^2
\]

Упростим это уравнение:
\[
\frac{x^2}{4} + 81 = 324
\]

Перенесем 81 на другую сторону:
\[
\frac{x^2}{4} = 324 - 81
\]
\[
\frac{x^2}{4} = 243
\]

Чтобы избавиться от деления на 4, умножим обе части уравнения на 4:
\[
x^2 = 972
\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения, так как нам нужно найти значение \( x \):
\[
x = \sqrt{972}
\]

Упростим это выражение:
\[
x = \sqrt{9 \cdot 108}
\]
\[
x = \sqrt{9} \cdot \sqrt{108}
\]
\[
x = 3 \cdot 6\sqrt{3}
\]
\[
x = 18\sqrt{3}
\]

Таким образом, сторона квадрата равна \( 18\sqrt{3} \) см. Чтобы найти периметр квадрата, умножим сторону на 4:
\[
\text{Периметр} = 4 \cdot 18\sqrt{3}
\]
\[
\text{Периметр} = 72\sqrt{3}
\]

Итак, периметр квадрата, в котором вершины расположены в серединах сторон, а диагональ равна 18 см, равен \( 72\sqrt{3} \) см.