Каков периметр нового прямоугольника, если периметр исходного прямоугольника равен 32 см, а площадь квадрата

Загадочная_Сова

10

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было понятно.

Пусть исходный прямоугольник имеет длину \(a\) и ширину \(b\). Тогда его периметр равен сумме всех сторон, то есть \(2a + 2b\). Мы знаем, что периметр исходного прямоугольника равен 32 см, значит у нас есть уравнение:

\[2a + 2b = 32\]

Теперь давайте рассмотрим квадрат, построенный на одной из сторон исходного прямоугольника. Площадь квадрата равна произведению его стороны, то есть \(a^2 = 36\).

Мы также знаем, что площадь нового прямоугольника вдвое больше площади исходного прямоугольника, то есть \(2ab\). Запишем это в уравнении:

\[2ab = 2 \times 36\]

Решим первое уравнение относительно \(a\):

\[2a = 32 - 2b\]
\[a = 16 - b\]

Теперь подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\[2(16 - b)b = 2 \times 36\]
\[32b - 2b^2 = 72\]
\[2b^2 - 32b + 72 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение для \(b\). Решим его используя квадратное уравнение.

\[\frac{{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \times 2 \times 72}}}{2 \times 2} \rightarrow \frac{{32 \pm \sqrt{1024 - 576}}}{4} \rightarrow \frac{{32 \pm \sqrt{448}}}{4} \rightarrow \frac{{32 \pm 8\sqrt{7}}}{4}\]

Воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) для определения количества корней.

\[D = 32^2 - 4 \times 2 \times 72 = 1024 - 576 = 448\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[b_1 = \frac{{32 + 8\sqrt{7}}}{4} = 8 + 2\sqrt{7}\]
\[b_2 = \frac{{32 - 8\sqrt{7}}}{4} = 8 - 2\sqrt{7}\]

Теперь подставим оба значения \(b\) в первое уравнение:

\[a_1 = 16 - (8 + 2\sqrt{7}) = 8 - 2\sqrt{7}\]
\[a_2 = 16 - (8 - 2\sqrt{7}) = 8 + 2\sqrt{7}\]

Таким образом, мы получили две пары значений для сторон нового прямоугольника: \(a_1 = 8 - 2\sqrt{7}\), \(b_1 = 8 + 2\sqrt{7}\) и \(a_2 = 8 + 2\sqrt{7}\), \(b_2 = 8 - 2\sqrt{7}\).

Для каждой пары сторон периметр нового прямоугольника будет равен:

Периметр 1: \(2(8 - 2\sqrt{7}) + 2(8 + 2\sqrt{7}) = 16 - 4\sqrt{7} + 16 + 4\sqrt{7} = 32\) см

Периметр 2: \(2(8 + 2\sqrt{7}) + 2(8 - 2\sqrt{7}) = 16 + 4\sqrt{7} + 16 - 4\sqrt{7} = 32\) см

Таким образом, периметр нового прямоугольника для обоих пар значений сторон будет равен 32 см.