Каков периметр правильного треугольника, если сумма радиусов описанной и вписанной окружностей равна 12 корень

Magnitnyy_Zombi_5452

48

Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Предположим, что радиус описанной окружности равен \(R\), а радиус вписанной окружности равен \(r\).

Шаг 2: Мы знаем, что сумма радиусов описанной и вписанной окружностей равна 12 корень. Из этого следует, что \(R + r = 12\sqrt{3}\).

Шаг 3: Для правильного треугольника, описанной окружностью с центром \(O\) и вписанной окружностью с центром \(I\), мы можем сказать, что \(OI\) является медианой.

Шаг 4: Медиана в правильном треугольнике разделяет его на два равных пятна. Давайте обозначим длину медианы как \(m\).

Шаг 5: Известно, что в правильном треугольнике \(m = \frac{2}{3}R\), где \(R\) - радиус описанной окружности.

Шаг 6: Также известно, что в правильном треугольнике \(m = \frac{3}{4}r\), где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Шаг 7: Теперь мы можем записать два уравнения, используя эти отношения:

\(\frac{2}{3}R = \frac{3}{4}r\) и \(R + r = 12\sqrt{3}\).

Шаг 8: Воспользуемся первым уравнением, чтобы выразить одну переменную через другую. Умножим оба уравнения на \(\frac{12}{2}\), чтобы избавиться от дробей:

\(8R = 9r\).

Шаг 9: Теперь можно выразить радиус вписанной окружности \(r\) через радиус описанной окружности \(R\): \(r = \frac{8}{9}R\).

Шаг 10: Подставим это значение \(r\) во второе уравнение:

\(R + \frac{8}{9}R = 12\sqrt{3}\).

Шаг 11: Упростим уравнение: \(\frac{17}{9}R = 12\sqrt{3}\).

Шаг 12: Теперь можно найти значение \(R\):

\(R = \frac{12\sqrt{3} \cdot 9}{17} = \frac{108\sqrt{3}}{17}\).

Шаг 13: Чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех трех его сторон, то есть умножить радиус описанной окружности на 3:

Периметр = \(3 \cdot R = 3 \cdot \frac{108\sqrt{3}}{17} = \frac{324\sqrt{3}}{17}\).

Итак, периметр правильного треугольника равен \(\frac{324\sqrt{3}}{17}\).