Вариант 1 1. Какова длина отрезка BC и каковы координаты середины этого отрезка, если B (−2; 5) и C (4; 1)? 2. Какое

Yastreb

36

1. Для определения длины отрезка BC можно использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: \[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
В нашем случае:
\[d = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (1 - 5)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(6)^2 + (-4)^2}}\]
\[d = \sqrt{{36 + 16}}\]
\[d = \sqrt{{52}}\]
Таким образом, длина отрезка BC равна \(\sqrt{{52}}\) или примерно 7.21.

Чтобы найти координаты середины отрезка BC, мы можем использовать среднее арифметическое значений x и y координат точек B и C.
Координата x середины отрезка BC: \(\frac{{B_x + C_x}}{2} = \frac{{-2 + 4}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Координата y середины отрезка BC: \(\frac{{B_y + C_y}}{2} = \frac{{5 + 1}}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
То есть координаты середины отрезка BC равны (1, 3).

2. Уравнение окружности с центром в точке A и проходящей через точку M может быть записано в виде:
\((x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2\), где \(A_x\) и \(A_y\) - координаты центра A, \(x\) и \(y\) - переменные координаты точки на окружности, и \(r\) - радиус окружности.

Substituting the given values: \((x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = r^2\) и точка M(1, 7),
мы можем найти уравнение окружности:
\((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2\)

3. Если A(3, -2), C(9, 8) и D(-4, -5) являются вершинами параллелограмма ABCD, то стороны параллелограмма должны быть параллельными и равными по длине.
Следовательно, сторона AB должна быть равна стороне CD, а сторона AD должна быть равна стороне BC.

Длина стороны AB: \(\sqrt{{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2}} = \sqrt{{((-2) - 3)^2 + (5 - (-2))^2}} = \sqrt{{(-5)^2 + (7)^2}} = \sqrt{{25 + 49}} = \sqrt{{74}}\)

Длина стороны CD: \(\sqrt{{(D_x - C_x)^2 + (D_y - C_y)^2}} = \sqrt{{((-4) - 9)^2 + ((-5) - 8)^2}} = \sqrt{{(-13)^2 + (-13)^2}} = \sqrt{{169 + 169}} = \sqrt{{338}}\)

Длина стороны AD: \(\sqrt{{(D_x - A_x)^2 + (D_y - A_y)^2}} = \sqrt{{((-4) - 3)^2 + ((-5) - (-2))^2}} = \sqrt{{(-7)^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{49 + 9}} = \sqrt{{58}}\)

Длина стороны BC: \(\sqrt{{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2}} = \sqrt{{(9 - (-2))^2 + (8 - 5)^2}} = \sqrt{{(11)^2 + (3)^2}} = \sqrt{{121 + 9}} = \sqrt{{130}}\)

Так как стороны параллелограмма AD и BC, AB и CD равны, можно утверждать, что AD и BC параллельны и имеют одинаковую длину.

\((B_x, B_y)\) - координаты вершины B параллелограмма ABCD.

\(B_x = C_x + A_x - D_x = 9 + 3 - (-4) = 16\) - координата x вершины B
\(B_y = C_y + A_y - D_y = 8 + (-2) - (-5) = 11\) - координата y вершины B

Так что координаты вершины B параллелограмма ABCD равны (16, 11).

4. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1) и B(-2, 13), мы можем использовать формулу наклона прямой (slope-intercept form): \(y = mx + b\), где \(m\) - наклон прямой, а \(b\) - точка пересечения с осью \(y\).

Наклон прямой \(m\) можно найти, используя разность \(y\) координат/разность \(x\) координат двух точек на прямой:
\(m = \frac{{B_y - A_y}}{{B_x - A_x}} = \frac{{13 - 1}}{{-2 - 1}} = \frac{{12}}{{-3}} = -4\)

Теперь мы можем использовать полученное значение \(m\) и одну из точек (например, точку A(1, 1)), чтобы найти значение \(b\):
\(1 = (-4)(1) + b\)
\(1 = -4 + b\)
\(b = 5\)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1) и B(-2, 13), имеет вид: \(y = -4x + 5\)

5. Чтобы найти координаты точки на оси абсцисс, находящейся на равном расстоянии от точек A(-1, 4) и B(5, 2), мы можем найти среднее значение \(x\) координат этих точек:
\(x_{\text{точка}} = \frac{{A_x + B_x}}{2} = \frac{{-1 + 5}}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Таким образом, координаты точки на оси абсцисс, находящейся на равном расстоянии от точек A(-1, 4) и B(5, 2), равны (2, 0).

6. Чтобы найти уравнение прямой, параллельной линии \(y = -2x\), мы можем использовать формулу наклона прямой и одну из точек на этой прямой.
Так как дана линия \(y = -2x\), мы знаем, что у нее наклон \(m = -2\).
Выберем точку на этой линии, например, точку (0, 0). Используем формулу наклона-точки:
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 0 = -2(x - 0)\)
\(y = -2x\)

Таким образом, уравнение прямой, параллельной линии \(y = -2x\), имеет вид \(y = -2x\).

Очень важно помнить, что данные ответы предоставляются для образовательных целей и не должны заменять индивидуальное обучение и подробные объяснения учителя. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или затруднения, пожалуйста, обратитесь к вашему учителю или преподавателю.