Каков периметр треугольника АВС с координатами вершин А(7;1;-5) В(4;-3-4) С(1;3;-2)?

Yastreb

63

Чтобы найти периметр треугольника АВС с заданными координатами вершин, мы должны вычислить длины всех его сторон и сложить их.

1. Вычисление длины стороны АВ:
Для этого нам понадобится формула расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Пусть точка А имеет координаты (x1, y1, z1), а точка В - (x2, y2, z2). Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

\[d_{AB} = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}}\]

Подставим заданные координаты вершин А(7;1;-5) и В(4;-3;-4) в эту формулу:

\[d_{AB} = \sqrt{{(4 - 7)^2 + (-3 - 1)^2 + (-4 - (-5))^2}}\]

Вычислим:

\[d_{AB} = \sqrt{{(-3)^2 + (-4)^2 + (1)^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{9 + 16 + 1}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{26}}\]

Таким образом, длина стороны АВ равна \(\sqrt{{26}}\).

2. Вычисление длины стороны BC:
Аналогично прошлому шагу, подставим заданные координаты вершин В(4;-3;-4) и С(1;3;-2) в формулу расстояния между точками:

\[d_{BC} = \sqrt{{(1 - 4)^2 + (3 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2}}\]

Вычислим:

\[d_{BC} = \sqrt{{(-3)^2 + (6)^2 + (2)^2}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{9 + 36 + 4}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{49}}\]

Таким образом, длина стороны BC равна \(\sqrt{{49}}\).

3. Вычисление длины стороны CA:
Подставим заданные координаты вершин С(1;3;-2) и А(7;1;-5) в формулу:

\[d_{CA} = \sqrt{{(7 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (-5 - (-2))^2}}\]

Вычислим:

\[d_{CA} = \sqrt{{(6)^2 + (-2)^2 + (-3)^2}}\]
\[d_{CA} = \sqrt{{36 + 4 + 9}}\]
\[d_{CA} = \sqrt{{49}}\]

Таким образом, длина стороны CA также равна \(\sqrt{{49}}\).

Теперь, чтобы найти периметр треугольника АВС, мы сложим длины всех его сторон:

\[Периметр_{ABC} = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = \sqrt{{26}} + \sqrt{{49}} + \sqrt{{49}}\]

Вычислим:

\[Периметр_{ABC} = \sqrt{{26}} + 7 + 7\]
\[Периметр_{ABC} = 14 + \sqrt{{26}}\]

Таким образом, периметр треугольника АВС с заданными координатами вершин равен \(14 + \sqrt{{26}}\).