Каков периметр треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен 5 корень

Letuchiy_Mysh

37

Хорошо! Для начала, давайте разберемся с основными понятиями. Если треугольник имеет радиус вписанной окружности, это означает, что окружность касается всех трех сторон треугольника.

Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. Для нахождения периметра треугольника с показателем вписанной окружности, нам понадобятся знания о радиусе и других свойствах треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности равен \(r = 5\sqrt{3}\). Обозначим длины сторон треугольника как \(a\), \(b\), и \(c\).

Зная, что окружность касается сторон треугольника, можно установить следующие связи:

\[a + b = 2r \quad (1)\]
\[b + c = 2r \quad (2)\]
\[c + a = 2r \quad (3)\]

Также важно знать, что в треугольнике с радиусом вписанной окружности, длины сторон связаны следующим образом:

\[a + b + c = 2r \cdot \sqrt{3} \quad (4)\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(a\), \(b\), и \(c\). Добавляя уравнения (1), (2) и (3), мы получим:

\[2a + 2b + 2c = 6r\]

Подставив значение \(2r \cdot \sqrt{3}\) вместо \(6r\), упростим это уравнение:

\[2a + 2b + 2c = 2r \cdot \sqrt{3}\]

Деление обеих сторон этого уравнения на 2, получим:

\[a + b + c = r \cdot \sqrt{3}\]

Теперь мы можем заметить, что выражение в левой части уравнения (4) равно выражению в левой части уравнения (5). Следовательно, мы можем заключить, что периметр треугольника с вписанной окружностью равен \(P = 2r \cdot \sqrt{3}\).

Подставим значение радиуса \(r = 5\sqrt{3}\):

\[P = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\]

Упростим это выражение:

\[P = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30\]

Таким образом, периметр треугольника равен 30.