Каков период решетки, если длина волны красного света паров калия составляет 768 нм, а расстояние между серединой

Edinorog

27

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы дифракции Фраунгофера:
\[d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda\]
где \(d\) - период решетки, \(\theta\) - угол между направлением падающего света и направлением на дифракционное изображение, \(m\) - порядок дифракционного изображения, \(\lambda\) - длина волны света.

Также нам понадобится формула для расстояния d между центральным изображением щели и дифракционным изображением:
\[d = \frac{{L \cdot \lambda}}{{a}}\]
где \(L\) - расстояние между решеткой и экраном (изображением), \(a\) - ширина щели.

Теперь рассмотрим заданные данные:
\(\lambda = 768\) нм = \(768 \times 10^{-9}\) м
\(d = 13\) см = \(13 \times 10^{-2}\) м

Мы знаем, что центральное изображение (первое дифракционное изображение) находится на \(m = 1\) порядке дифракции, поэтому значение \(m = 1\).

Используя вторую формулу, найдем период решетки:
\[d = \frac{{L \cdot \lambda}}{{a}}\]
\[L = \frac{{d \cdot a}}{{\lambda}}\]
\[L = \frac{{13 \times 10^{-2} \cdot a}}{{768 \times 10^{-9}}}\]

После этого вставим найденное значение \(L\) в первую формулу, чтобы найти угол дифракции \(\theta\) для порядка \(m = 1\):
\[d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda\]
\[13 \times 10^{-2} \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot 768 \times 10^{-9}\]
\[\sin(\theta) = \frac{{768 \times 10^{-9}}}{{13 \times 10^{-2}}} = \frac{{768}}{{13 \times 10^{2}}}\]
\[\theta = \arcsin\left(\frac{{768}}{{13 \times 10^{2}}}\right)\]

Теперь, когда у нас есть значение угла \(\theta\), мы можем использовать его, чтобы найти период решетки \(d\) с помощью первой формулы:
\[d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda\]
\[d \cdot \sin\left(\arcsin\left(\frac{{768}}{{13 \times 10^{2}}}\right)\right) = 1 \cdot 768 \times 10^{-9}\]
\[d = \frac{{768 \times 10^{-9}}}{{\sin\left(\arcsin\left(\frac{{768}}{{13 \times 10^{2}}}\right)\right)}}\]

Выполним необходимые вычисления. Ответ округлим до адекватного количества значащих цифр:

\[d \approx 5.784 \times 10^{-6}\] м

Таким образом, период решетки составляет примерно \(5.784 \times 10^{-6}\) м (или 5.784 мкм).