Каков путь, пройденный материальной точкой массой m по оси ох за 1 секунду, если она движется в результате действия

Магнит

12

Для решения данной задачи, мы воспользуемся вторым законом Ньютона, который гласит, что сила, действующая на материальную точку, равна произведению массы на ускорение:

\[F = ma\]

Поскольку у нас дано выражение для силы в зависимости от времени \(f_x = 12 m t^2\), то мы можем найти ускорение, взяв вторую производную координаты \(x\):

\[a = \frac{d^2 x}{dt^2}\]

Для этого произведем двукратную дифференциацию координаты \(x\). Первоначально, дано, что \(x_0=3м\) и \(v_{x0}=6м/c\), где \(x_0\) - начальная координата, \(v_{x0}\) - начальная скорость. Запишем данные условия:

\[x_0 = 3м\]
\[v_{x0} = 6м/с\]

Проинтегрируем ускорение, чтобы найти скорость точки по времени:

\[\int a dt = \int f_x \, dt\]

Так как у нас дано выражение для силы в зависимости от времени \(f_x = 12 m t^2\), подставим его в формулу:

\[\int a \, dt = \int 12 m t^2 \, dt\]

Проинтегрируем это выражение:

\[\int a \, dt = 12 m \int t^2 \, dt\]

Вычислим интеграл:

\[\int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_1\]

Где \(C_1\) - постоянная интегрирования. Теперь мы можем записать выражение для скорости:

\[v_x = \frac{d x}{dt} = \frac{t^3}{3} + C_1\]

Для нахождения константы интегрирования \(C_1\), используем начальное условие \(v_{x0} = 6 м/с\), при \(t = 0\):

\[v_{x0} = \frac{t^3}{3} + C_1\]
\[C_1 = v_{x0} - \frac{t^3}{3}\]
\[C_1 = 6 - \frac{0^3}{3}\]
\[C_1 = 6\]

Теперь, найдя выражение для скорости \(v_x\), мы можем проинтегрировать его, чтобы найти координату \(x\) точки:

\[\int v_x \, dt = \int \left(\frac{t^3}{3} + 6\right) \, dt\]

Вычислим интеграл:

\[\int \frac{t^3}{3} \, dt + \int 6 \, dt\]
\[\frac{t^4}{12} + 6t + C_2\]
\[\frac{t^4}{12} + 6t + C_2\]

Где \(C_2\) - постоянная интегрирования. Теперь мы можем записать выражение для координаты точки \(x\):

\[x = \frac{t^4}{12} + 6t + C_2\]

Для нахождения константы интегрирования \(C_2\), используем начальное условие \(x_0 = 3 м\), при \(t = 0\):

\[x_0 = \frac{t^4}{12} + 6t + C_2\]
\[C_2 = x_0 - \frac{t^4}{12} - 6t\]
\[C_2 = 3 - \frac{0^4}{12} - 6 \cdot 0\]
\[C_2 = 3\]

Таким образом, окончательное выражение для координаты точки \(x\) в зависимости от времени \(t\) будет:

\[x = \frac{t^4}{12} + 6t + 3\]

Теперь, чтобы найти путь, пройденный материальной точкой, мы должны найти разность координаты \(x\) от \(t = 0\) до \(t = 1\):

\[x_1 - x_0 = \left(\frac{1^4}{12} + 6 \cdot 1 + 3\right) - \left(\frac{0^4}{12} + 6 \cdot 0 + 3\right)\]
\[x_1 - x_0 = \left(\frac{1}{12} + 6 + 3\right) - \left(0 + 0 + 3\right)\]
\[x_1 - x_0 = \left(\frac{1}{12} + 6 + 3\right) - 3\]
\[x_1 - x_0 = \frac{1}{12} + 6\]

Таким образом, путь, пройденный материальной точкой за 1 секунду, равен \(\frac{1}{12} + 6\) метра.