Каков путь, пройденный точкой v(t) за первые 3 секунды движения? Какой путь точка пройдет за 3-ю секунду движения?

Lyudmila

7

Для этих вопросов нам понадобятся данные о положении точки v(t) в зависимости от времени t. Предположим, что положение точки v(t) задано уравнением \(v(t) = 2t^2 + 3t\).

Теперь, чтобы узнать путь, пройденный точкой v(t) за первые 3 секунды движения, мы можем взять определенный интеграл от начального времени, скажем от \(t=0\) до \(t=3\):

\[
\text{Путь} = \int_{0}^{3} v(t) \, dt
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
\text{Путь} = \int_{0}^{3} (2t^2 + 3t) \, dt
\]

Чтобы найти интеграл, раскроем скобки и применим правила интегрирования:

\[
\text{Путь} = \int_{0}^{3} 2t^2 \, dt + \int_{0}^{3} 3t \, dt
\]

\[
= \left[\frac{2}{3}t^3\right]_{0}^{3} + \left[\frac{3}{2}t^2\right]_{0}^{3}
\]

\[
= \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{3}{2}(0)^2
\]

\[
= \frac{2}{3}(27) + \frac{3}{2}(9)
\]

\[
= 18 + \frac{27}{2} = \frac{63}{2}
\]

Таким образом, путь, пройденный точкой v(t) за первые 3 секунды, равен \(\frac{63}{2}\) единиц.

Теперь давайте выясним, какой путь точка пройдет за 3-ю секунду движения. Для этого мы можем вычислить разность пути на конечный момент времени и пути на предыдущий момент времени:

\[
\text{Путь за 3-ю секунду} = \text{Путь}(t=3) - \text{Путь}(t=2)
\]

Подставим значения пути для \(t=3\) и \(t=2\):

\[
\text{Путь за 3-ю секунду} = \frac{63}{2} - \text{Путь}(t=2)
\]

Для вычисления \(\text{Путь}(t=2)\) нам понадобится опять взять интеграл от начального момента времени до \(t=2\):

\[
\text{Путь}(t=2) = \int_{0}^{2} v(t) \, dt
\]

Вычислим интеграл аналогичным образом:

\[
\text{Путь}(t=2) = \int_{0}^{2} (2t^2 + 3t) \, dt
\]

\[
= \left[\frac{2}{3}t^3\right]_{0}^{2} + \left[\frac{3}{2}t^2\right]_{0}^{2}
\]

\[
= \frac{2}{3}(2)^3 - \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 - \frac{3}{2}(0)^2
\]

\[
= \frac{2}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) = \frac{16}{3} + 6 = \frac{34}{3}
\]

Теперь мы можем вычислить путь за 3-ю секунду:

\[
\text{Путь за 3-ю секунду} = \frac{63}{2} - \frac{34}{3}
\]

\[
= \frac{63 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{34 \cdot 2}{3 \cdot 2}
\]

\[
= \frac{189 - 68}{6} = \frac{121}{6}
\]

Таким образом, точка пройдет \(\frac{121}{6}\) единиц пути за 3-ю секунду движения.

Наконец, чтобы узнать общий путь, пройденный точкой v(t) от начала движения до остановки, нам нужно найти путь на бесконечности. Это происходит, когда время t стремится к бесконечности:

\[
\text{Общий путь} = \lim_{{t \to \infty}} \left(\int_{0}^{t} v(t) \, dt\right)
\]

В нашем случае:

\[
\text{Общий путь} = \lim_{{t \to \infty}} \left(\int_{0}^{t} (2t^2 + 3t) \, dt\right)
\]

Для упрощения вычислений, мы можем сократить выражение \(2t^2 + 3t\) до \(t(2t + 3)\). Тогда:

\[
\text{Общий путь} = \lim_{{t \to \infty}} \left(\int_{0}^{t} t(2t + 3) \, dt\right)
\]

\[
= \lim_{{t \to \infty}} \left(\int_{0}^{t} 2t^2 + 3t \, dt\right)
\]

\[
= \lim_{{t \to \infty}} \left(\left[\frac{2}{3}t^3\right]_{0}^{t} + \left[\frac{3}{2}t^2\right]_{0}^{t}\right)
\]

\[
= \lim_{{t \to \infty}} \left(\frac{2}{3}t^3 - \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}t^2 - \frac{3}{2}(0)^2\right)
\]

\[
= \lim_{{t \to \infty}} \left(\frac{2}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2\right)
\]

В результате, при \(t \to \infty\) коэффициенты при \(t^3\) и \(t^2\) доминируют, а остальные слагаемые не вносят существенных изменений, так как растут намного медленнее. Таким образом, общий путь, пройденный точкой v(t) от начала движения до остановки, будет бесконечным.

Надеюсь, эти подробные выкладки помогли понять, как искать путь, пройденный точкой v(t) в заданные временные моменты и общий путь до остановки. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать!