Каков путь, пройденный точкой за временной интервал от 1 до 7 секунд, если её скорость задана функцией v(t)=3+0,2t

Роза

27

Для решения задачи о пути точки, пройденном за заданный временной интервал, мы можем использовать основное определение скорости как производной пути по времени.

Итак, у нас есть функция скорости \(v(t) = 3 + 0.2t\), где \(v(t)\) измеряется в метрах в секунду, а \(t\) представляет время в секундах.

Чтобы найти путь, пройденный точкой, нам нужно найти производную функции скорости и интегрировать ее на заданном временном интервале от 1 до 7 секунд.

Для начала найдем производную функции скорости \(v(t)\):

\[
v"(t) = \frac{{d}}{{dt}}(3 + 0.2t) = 0.2
\]

Теперь мы знаем, что производная пути равна 0.2 м/с. Это означает, что каждую секунду скорость точки увеличивается на 0.2 м/с.

Теперь нужно проинтегрировать производную пути, чтобы найти сам путь. Интегрирование производной пути даст нам исходную функцию пути.

\[
s(t) = \int v"(t)dt = \int 0.2dt = 0.2t + C
\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть исходная функция пути \(s(t) = 0.2t + C\). Чтобы найти постоянную \(C\), нам нужно использовать начальное условие \(s(1) = 0\), потому что путь точки в момент времени 1 секунда равен 0.

\[
s(1) = 0.2 \cdot 1 + C = 0
\]

\[
0.2 + C = 0
\]

\[
C = -0.2
\]

Теперь мы можем записать окончательную функцию пути:

\[
s(t) = 0.2t - 0.2
\]

Чтобы найти путь, пройденный точкой за временной интервал от 1 до 7 секунд, нужно подставить значения времени в функцию пути:

\[
s(7) - s(1) = (0.2 \cdot 7 - 0.2) - (0.2 \cdot 1 - 0.2)
\]

\[
= 1.4 - 0 + 0.2 = 1.6 \text{ метра}
\]

Таким образом, путь, пройденный точкой за временной интервал от 1 до 7 секунд, составляет 1.6 метра.