Каков радиус большего основания усеченного конуса, если его образующая равна 2 см, наклонена к плоскости основания

Даниил

5

Давайте решим данную задачу пошагово и подробно.

Имеется усеченный конус с образующей длиной 2 см, который наклонен к плоскости основания под углом 60 градусов. Мы ищем радиус большего основания данного конуса.

Первым шагом для решения задачи нам нужно найти радиус меньшего основания. Для этого можно использовать формулу связи радиуса и образующей усеченного конуса:

\[\frac{{r_1}}{{l_1}} = \frac{{r_2}}{{l_2}}\]

где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы меньшего и большего оснований соответственно, \(l_1\) и \(l_2\) - соответственно образующие конусов.

У нас изначально задана образующая \(l_2 = 2\) см и угол между образующей и плоскостью основания \(\theta = 60^\circ\). Также нам известно, что радиус меньшего основания \(r_1\) равен некоторому значению.

Далее, используя свойство тригонометрической функции синуса (\(\sin\)), мы можем выразить образующую \(l_1\) через радиус меньшего основания и угол \(\theta\):

\[l_1 = 2\sin(\theta)\]

Затем, подставим известные значения в формулу связи радиуса и образующей:

\[\frac{{r_1}}{{2\sin(\theta)}} = \frac{{r_2}}{{2}}\]

После этого, упростим выражение:

\[r_1 = r_2\sin(\theta)\]

Теперь у нас есть связь между радиусом меньшего основания и радиусом большего основания. Для нашей задачи угол \(\theta = 60^\circ\).

Подставим значение угла и рассчитаем радиус меньшего основания:

\[r_1 = r_2\sin(60^\circ)\]

Известно, что в равностороннем треугольнике со стороной \(a\) длина высоты, проведенной к любой стороне, равна \(a \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}\). Так как угол \(\theta\) равен 60 градусам и радиус большего основания конуса равен \(r_2\), то получаем:

\[r_1 = r_2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}\]

Итак, мы получили связь между радиусом меньшего основания (\(r_1\)) и радиусом большего основания (\(r_2\)). Мы видим, что радиус меньшего основания равен радиусу большего основания, умноженному на \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\). Таким образом, радиус большего основания конуса также будет равен \(r_2\), умноженному на \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\).

Ответ: для данного усеченного конуса с образующей длиной 2 см и углом между образующей и плоскостью основания 60 градусов, радиус большего основания будет равен \(r_2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}\), где \(r_2\) - радиус меньшего основания конуса.