Каков радиус окружности, если расстояние от ее центра до середины хорды AB равно 41, а длина хорды AB равна

Рак

36

Для решения задачи, нам пригодится знание свойств окружности. Окружность имеет так называемый "радиус", который является расстоянием от центра окружности до любой ее точки. Также мы будем использовать свойство равенства биссектрис (определенных в математике) и теорему Пифагора.

Давайте обратимся к рисунку для более наглядного представления задачи:

*
* *
* *
* . *
* *
* *
*

Где O - центр окружности, A и B - точки, определяющие хорду AB, а M - середина этой хорды.

Мы знаем, что расстояние от центра окружности до середины хорды AB равно 41, а длина самой хорды равна 40.

Заметим, что в треугольнике OMA биссектриса помогает разделить угол O на два равных угла. Обозначим расстояние от центра окружности O до точки M как r (радиус).

Теперь рассмотрим треугольник OAB. Он является прямоугольным, так как хорда AB проходит через центр окружности. Если мы проследим за Медианами (линия, соединяющая угол треугольника с серединой противоположной стороны), то заметим, что OМ является медианой треугольника OAB.

Используя свойство равенства биссектрис, мы получаем два прямоугольных треугольника OMB и OMA.

Мы знаем, что MO = 41 (расстояние до середины хорды AB) и AB = 40 (длина хорды). Нам нужно найти радиус ОМ, обозначенный как r.

Давайте рассмотрим треугольник OMB, в котором сторона MB равняется половине длины хорды AB, то есть 20. А значит, радиус ОМ, обозначенный как r, является гипотенузой этого треугольника.

Теперь, применим теорему Пифагора к треугольнику OMB:
\[r^2 = MO^2 - MB^2\]
\[r^2 = 41^2 - 20^2\]
\[r^2 = 1681 - 400\]
\[r^2 = 1281\]

Чтобы найти точное значение радиуса r, извлечем квадратный корень из обоих сторон:
\[r = \sqrt{1281}\]

Таким образом, радиус окружности равен \(\sqrt{1281}\).