Каков радиус окружности, которая проходит через точки a и b и касается прямой cd, если основания ad и bc трапеции abcd
Каков радиус окружности, которая проходит через точки a и b и касается прямой cd, если основания ad и bc трапеции abcd относятся как 5:1 и сумма углов при основании ad равна 90 градусов и ab=24?
Lastochka 45
Дано: AB = 24, AD : BC = 5 : 1, ∠DAB + ∠ABD = 90°Для начала, построим известные отрезки и отметим точки на координатной плоскости:
1) Проведем отрезок AB = 24
2) Проведем прямую CD
3) Найдем точку M на прямой CD таким образом, чтобы она равноудалена от точек A и B
Определяем точку M:
1) Найдем середину отрезка AB, обозначим её точкой O
2) Проведем прямую, проходящую через O и перпендикулярную AB. Эта прямая будет являться прямой симметрии для отрезка AB.
3) Точка M - точка пересечения прямой CD и прямой симметрии
Из общих свойств трапеции:
1) Точка M - середина отрезка CD
Теперь мы знаем, что точка M является серединой отрезка CD. Так как прямая CD касается окружности, радиус которой мы хотим найти, то радиус окружности и отрезок CM являются перпендикулярными.
В итоге, чтобы найти радиус окружности, нам нужно найти длину отрезка CM. Поскольку CM является средней линией трапеции, то его длина равна полусумме оснований трапеции AD и BC.
Так как основания AD и BC относятся как 5:1, можно записать соотношение:
AD = 5x, BC = x, где x - общий множитель
Остается найти этот общий множитель. Для этого воспользуемся информацией, что ∠DAB + ∠ABD = 90°.
Поскольку AD и BC это основания трапеции, они параллельны и их боковые стороны, DA и BC, будут перпендикулярны. Значит, у нас есть прямоугольный треугольник ABD.
Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°. Значит, ∠DAB + ∠ABD = 90°.
Так как основания AD и BC соответственно равны 5x и x, то гипотенуза AB равна 24:
\(AB^2 = AD^2 + BD^2\)
\(24^2 = (5x)^2 + x^2\)
Решаем это уравнение:
\(576 = 25x^2 + x^2\)
\(576 = 26x^2\)
\(x^2 = \frac{576}{26}\)
\(x^2 = \frac{288}{13}\)
\(x = \sqrt{\frac{288}{13}}\)
Теперь найдем длину отрезка CM:
\(CM = \frac{AD + BC}{2} = \frac{5x + x}{2} = \frac{6x}{2} = 3x\)
Подставляем значение x:
\(CM = 3 \cdot \sqrt{\frac{288}{13}}\)
Округлим это значение с точностью до сотых:
\(CM \approx 3 \cdot \sqrt{\frac{288}{13}} \approx 15.58\)
Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, составляет примерно 15.58.