Какова площадь треугольника ABC и площадь параллелограмма ABCD, если BC равна 2 см, BA равна 7 см и угол B равен

Екатерина

28

Для начала, давайте определимся с формулами, которые мы будем использовать для решения задачи.

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы полупериметра. Для треугольника с сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) полупериметр \(p\) вычисляется по формуле:

\[ p = \frac{{a + b + c}}{2} \]

По знанию полупериметра треугольника, его сторон и углов мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

Теперь, чтобы вычислить площадь параллелограмма, нам понадобится знание стороны и высоты. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

\[ S = a \cdot h \]

где \(a\) - длина одной из сторон параллелограмма, а \(h\) - высота, опущенная на эту сторону.

Итак, у нас дано, что сторона \(BC\) равна 2 см, сторона \(BA\) равна 7 см и угол \(B\) равен 60 градусов.

1. Вычисляем площадь треугольника ABC:

Сначала найдем полупериметр треугольника.
Полупериметр \(p\) равен полусумме всех сторон треугольника:

\[ p = \frac{{BC + BA + AC}}{2} = \frac{{2 + 7 + AC}}{2} \]

Так как сторона \(AC\) неизвестна, нам нужно ее выразить через известные значения.

Кроме того, у нас есть угол треугольника \(B\), поэтому мы можем использовать теорему косинусов для вычисления стороны \(AC\).
Теорема косинусов утверждает, что для треугольника с сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\gamma\) противолежащим стороне \(c\) выполняется следующее соотношение:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

Применяя формулу к нашему случаю, получаем:

\[ AC^2 = BC^2 + BA^2 - 2 \cdot BC \cdot BA \cdot \cos(B) \]

Подставляем известные значения:

\[ AC^2 = 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) \]

Высчитываем эту формулу, затем находим значение стороны \(AC\) путем извлечения квадратного корня:

\[ AC = \sqrt{AC^2} \]

Теперь, имея значения всех сторон треугольника, можем вычислить его полупериметр:

\[ p = \frac{{2 + 7 + AC}}{2} \]

Затем, используя формулу Герона, вычисляем площадь треугольника:

\[ S = \sqrt{p(p - BC)(p - BA)(p - AC)} \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \sqrt{p(p - 2)(p - 7)(p - AC)} \]

Округляем ответ до нужной точности и получаем площадь треугольника ABC.

2. Вычисляем площадь параллелограмма ABCD:

Нам известны стороны параллелограмма \(BC\) и \(BA\). Поскольку \(BC\) и \(BA\) являются сторонами параллелограмма, мы можем использовать формулу для вычисления площади параллелограмма:

\[ S = BC \times h \]

Теперь нам нужно найти высоту \(h\), которая является перпендикуляром, опущенным из вершины \(D\) на одну из сторон параллелограмма \(BC\) или \(BA\).

В параллелограмме, противоположные стороны равны и параллельны. Так как \(DC\) параллельна \(AB\) и равна \(BC\), а угол между ними равен 60 градусов (так как \(AB\) и \(BC\) являются сторонами треугольника, и угол \(B\) равен 60 градусов), то высота \(h\) равна расстоянию между \(D\) и \(BC\).

Таким образом, \(h\) равна отрезку, опущенному из вершины \(D\) на сторону \(BC\).

Мы можем также использовать теорему косинусов для вычисления длины этого отрезка.
Применяя теорему косинусов для треугольника \(DBC\) с сторонами \(DB\), \(DC\) и \(BC\) и углом \(\angle DBC\), мы можем найти \(h\) следующим образом:

\[ h = DC \cdot \sin(\angle DBC) \]

Подставляем известные значения:

\[ h = BC \cdot \sin(60^\circ) \]

Высчитываем эту формулу и получаем значение высоты \(h\).

Затем, используя формулу для площади параллелограмма, вычисляем площадь параллелограмма:

\[ S = BC \times h \]

Подставляем известные значения:

\[ S = 2 \times h \]

Округляем ответ до нужной точности и получаем площадь параллелограмма ABCD.

Таким образом, после проведения всех вычислений, мы получим максимально подробный и обстоятельный ответ на вопрос о площади треугольника ABC и площади параллелограмма ABCD, основываясь на предоставленных данных.