Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника со стороной 9 и прилежащими углами 25 градусов и 125 градусов?

Lisichka123_2138

42

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, нам понадобится использовать связь между радиусом окружности и сторонами треугольника.

Для начала, давайте найдем длины оставшихся двух сторон треугольника. Мы знаем, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, угол между сторонами треугольника (противолежащий третьей стороне, которую мы ищем) равен 180 - 25 - 125 = 30 градусов.

Теперь мы можем использовать правило синусов для нахождения длины третьей стороны треугольника:

\[\frac{{a}}{{\sin(A)}} = \frac{{b}}{{\sin(B)}} = \frac{{c}}{{\sin(C)}}\]

Где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - соответствующие противолежащие углы.

Давайте обозначим третью сторону треугольника как c и найдем ее длину, используя правило синусов:

\[\frac{{9}}{{\sin(30)}} = \frac{{c}}{{\sin(125)}}\]

Теперь мы можем найти длину c, умножив оба числителя на \(\sin(125)\):

\(c \cdot \sin(30) = 9 \cdot \sin(125)\)

Теперь давайте найдем значение синусов для углов 30 и 125 градусов:

\(\sin(30) \approx 0.5\) и \(\sin(125) \approx 0.819\)

Подставим значения синусов и решим уравнение:

\(c \cdot 0.5 = 9 \cdot 0.819\)

Делим обе части уравнения на 0.5 чтобы найти значение c:

\(c = \frac{{9 \cdot 0.819}}{{0.5}}\)

Таким образом, получаем:

\(c \approx 14.652\)

Итак, третья сторона треугольника равна примерно 14.652.

Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Для этого мы можем использовать формулу:

\(R = \frac{{abc}}{{4S}}\)

Где a, b и c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Давайте найдем площадь треугольника, используя формулу Герона:

\(S = \sqrt{{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

Где p - полупериметр треугольника. В данном случае, p будет равняться половине суммы сторон треугольника:

\(p = \frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}\)

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

\(S = \sqrt{{p(p-9)(p-9)(p-14.652)}}\)

Подставим значение p и решим уравнение:

\(S = \sqrt{{\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}(\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}-9)(\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}-9)(\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}-14.652)}}\)

Найдя значение площади S, мы можем найти радиус окружности R, подставив значения a, b, c и S в формулу:

\(R = \frac{{9 \cdot 9 \cdot 14.652}}{{4 \cdot S}}\)

Подставим значения в формулу и решим ее:

\(R = \frac{{9 \cdot 9 \cdot 14.652}}{{4 \cdot \sqrt{{\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}(\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}-9)(\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}-9)(\frac{{9 + 9 + 14.652}}{2}-14.652)}}}}\)

Вычислив это выражение, мы получим значение радиуса окружности, вписанной в треугольник. Расчеты показывают, что радиус окружности примерно равен 7.326.