Сколько точек есть, в которых эти прямые пересекаются друг с другом на плоскости, если только две из них параллельны

Лев

49

Для решения этой задачи, нам понадобится основное свойство плоскости: две прямые пересекаются в одной точке, если и только если они не параллельны. Из условия задачи известно, что только две прямые параллельны, а значит все остальные пересекаются.

Чтобы найти число точек пересечения, нам понадобится найти количество прямых. Для этого воспользуемся формулой комбинаторики.

Известно, что никакие три прямые не проходят через одну точку. Это означает, что каждая прямая пересекает остальные (кроме параллельных ей) в одной точке. Пусть имеется n прямых, тогда каждая прямая пересекает n-1 остальных прямых.

Теперь рассмотрим количество точек пересечений. Первая прямая пересекается с n-1 прямыми. Вторая прямая пересекается с оставшимися n-2 прямыми (1 прямая уже пересечена). Третья прямая пересекается с n-3 прямыми (уже пересечено 2 прямые). И так далее.

Таким образом, количество точек пересечения можно выразить суммой 1 + 2 + 3 + ... + (n-1).

Используя формулу суммы арифметической прогрессии, получаем следующее:

\[S = \frac{n \cdot (n-1)}{2}\]

Теперь, подставим в эту формулу значение n.

Из условия задачи известно, что две прямые параллельны, а значит имеют одно и то же направление. Поэтому, каждая пара параллельных прямых образует только одну точку пересечения.
Всего у нас две параллельные прямые, значит n = 2.

Подставим n = 2 в формулу суммы:

\[S = \frac{2 \cdot (2-1)}{2} = 1\]

Таким образом, на плоскости есть только одна точка пересечения для данных прямых.