Каков радиус окружности, описывающей треугольник ABC, если AB = BC = 24 см и MO

Magicheskiy_Troll

29

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться свойством вписанного угла в окружности.
В данном случае треугольник ABC является равнобедренным, так как его стороны AB и BC имеют одинаковую длину - 24 см.

Также, чтобы найти радиус окружности, нужно найти высоту треугольника, опущенную из вершины C на сторону AB. Обозначим эту высоту как h.

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник ACM. У него гипотенуза равна диаметру окружности, то есть 2R, где R - радиус окружности.

Так как прямоугольник AC равнобедренный треугольник, то мы можем использовать свойство равенства биссектрисы и медианы в равнобедренном треугольнике.

Тогда можно сказать, что отрезок BH, где H - центр окружности, является и биссектрисой, и медианой треугольника ABC.

Таким образом, мы можем записать следующие равенства:

$BM=\frac{24}{2}=12$ см (половина стороны треугольника ABC)
$AM=\sqrt{A{C}^2-C{M}^2}=\sqrt{{24}^2-{12}^2}=\sqrt{576-144}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$ см (по теореме Пифагора)
$CM=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12$ см (половина основания треугольника ABC)
$CH=\frac{BM\cdot AM}{BM+AM}=\frac{12\cdot 12\sqrt{3}}{12+12\sqrt{3}}=\frac{144\sqrt{3}}{12(1+\sqrt{3})}=\frac{12\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$ см (по формуле биссектрисы)
$CO=CH+HO=\frac{12\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}+R$ см (по теореме санитара)
$HO=BM=12$ см (Воспользовавшись равенствами углов, мы можем сказать, что треугольник BMH является равнобедренным, так как углы MHB и MBH равны)

Теперь нам нужно записать равенство для прямоугольного треугольника COH. У него гипотенуза равна МО, то есть $2R+12$, и высота равна $12$.

С использованием теоремы Пифагора мы можем записать следующее равенство:

$(2R+12{)}^2={12}^2+(\frac{12\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}{)}^2$

После раскрытия скобок и упрощения можно получить следующее:

$4R^2+48R+144=144+\frac{{12}^2\cdot 3}{(1+\sqrt{3}{)}^2}$

Упростив дальше, получим:

$4R^2+48R=\frac{144\cdot 3}{(1+\sqrt{3}{)}^2}$

Далее, домножив обе части уравнения на $(1+\sqrt{3}{)}^2$, получим:

$4R^2+48R=144\cdot 3$

Раскроем скобки:

$4R^2+48R=432$

Приведем квадратное уравнение в стандартную форму:

$4R^2+48R-432=0$

Теперь можно решить квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

$D=b^2-4ac$

$D={48}^2-4\cdot 4\cdot (-432)$

$D=2304+6912$

$D=9216$

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

$R_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-48+\sqrt{9216}}{8}=\frac{-48+96}{8}=6$ см
$R_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-48-\sqrt{9216}}{8}=\frac{-48-96}{8}=-18$ см

Так как радиус окружности должен быть положительным, ответом является $R=6$ см.

Итак, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, равен 6 см.