Каков радиус окружности, описывающей треугольник ABC, если AB = BC = 24 см и MO

Magicheskiy_Troll

29

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться свойством вписанного угла в окружности.
В данном случае треугольник ABC является равнобедренным, так как его стороны AB и BC имеют одинаковую длину - 24 см.

Также, чтобы найти радиус окружности, нужно найти высоту треугольника, опущенную из вершины C на сторону AB. Обозначим эту высоту как h.

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник ACM. У него гипотенуза равна диаметру окружности, то есть 2R, где R - радиус окружности.

Так как прямоугольник AC равнобедренный треугольник, то мы можем использовать свойство равенства биссектрисы и медианы в равнобедренном треугольнике.

Тогда можно сказать, что отрезок BH, где H - центр окружности, является и биссектрисой, и медианой треугольника ABC.

Таким образом, мы можем записать следующие равенства:

\( BM = \frac{24}{2} = 12 \) см (половина стороны треугольника ABC)
\( AM = \sqrt{AC^2 - CM^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \) см (по теореме Пифагора)
\( CM = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) см (половина основания треугольника ABC)
\( CH = \frac{BM \cdot AM}{BM + AM} = \frac{12 \cdot 12\sqrt{3}}{12 + 12\sqrt{3}} = \frac{144\sqrt{3}}{12(1+\sqrt{3})} = \frac{12\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \) см (по формуле биссектрисы)
\( CO = CH + HO = \frac{12\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} + R \) см (по теореме санитара)
\( HO = BM = 12 \) см (Воспользовавшись равенствами углов, мы можем сказать, что треугольник BMH является равнобедренным, так как углы MHB и MBH равны)

Теперь нам нужно записать равенство для прямоугольного треугольника COH. У него гипотенуза равна МО, то есть \(2R + 12\), и высота равна \(12\).

С использованием теоремы Пифагора мы можем записать следующее равенство:

\((2R + 12)^2 = 12^2 + (\frac{12\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}})^2\)

После раскрытия скобок и упрощения можно получить следующее:

\(4R^2 + 48R + 144 = 144 + \frac{12^2 \cdot 3}{(1 + \sqrt{3})^2}\)

Упростив дальше, получим:

\(4R^2 + 48R = \frac{144 \cdot 3}{(1 + \sqrt{3})^2}\)

Далее, домножив обе части уравнения на \((1 + \sqrt{3})^2\), получим:

\(4R^2 + 48R = 144 \cdot 3\)

Раскроем скобки:

\(4R^2 + 48R = 432\)

Приведем квадратное уравнение в стандартную форму:

\(4R^2 + 48R - 432 = 0\)

Теперь можно решить квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = 48^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-432)\)

\(D = 2304 + 6912\)

\(D = 9216\)

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\(R_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 + \sqrt{9216}}{8} = \frac{-48+96}{8} = 6\) см
\(R_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 - \sqrt{9216}}{8} = \frac{-48-96}{8} = -18\) см

Так как радиус окружности должен быть положительным, ответом является \(R = 6\) см.

Итак, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, равен 6 см.