Каков радиус вписанной сферы тетраэдра ABCD, если точки X и Y находятся внутри него, и расстояния от них до граней

Чудесный_Мастер

42

Y?

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться свойством вписанной сферы тетраэдра. Вписанная сфера тетраэдра касается его граней в точках, которые являются центрами вписанных шаров в каждой грани.

Пусть $r$ - радиус вписанной сферы тетраэдра ABCD. Тогда, согласно свойству вписанной сферы, расстояние от центра сферы до каждой грани тетраэдра будет равно радиусу сферы.

Найдем расстояние от точки X до грани ABC, кратчайшее расстояние от точки до плоскости можно найти с помощью формулы для расстояния от точки до плоскости:
$$d_{ABC}=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
где $Ax+By+Cz+D=0$ - уравнение плоскости ABC, а A, B, C, D - коэффициенты этого уравнения.

Аналогично, найдем расстояние от точки X до граней ABD, ACD, BCD и точки Y до граней ABC, ABD, ACD, BCD, используя соответствующие формулы для расстояния от точки до плоскости.

Таким образом, у нас получается система:
$$\{\begin{array}{l}\frac{|A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}}=r\\ \frac{|A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}=r\\ \frac{|A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_3|}{\sqrt{A_3^2+B_3^2+C_3^2}}=r\\ \frac{|A_{4}x+B_{4}y+C_{4}z+D_4|}{\sqrt{A_4^2+B_4^2+C_4^2}}=r\\ \frac{|A_{5}x+B_{5}y+C_{5}z+D_5|}{\sqrt{A_5^2+B_5^2+C_5^2}}=r\\ \frac{|A_{6}x+B_{6}y+C_{6}z+D_6|}{\sqrt{A_6^2+B_6^2+C_6^2}}=r\\ \frac{|A_{7}x+B_{7}y+C_{7}z+D_7|}{\sqrt{A_7^2+B_7^2+C_7^2}}=r\\ \frac{|A_{8}x+B_{8}y+C_{8}z+D_8|}{\sqrt{A_8^2+B_8^2+C_8^2}}=r\end{array}$$
где $A_1,B_1,C_1,D_1$ - коэффициенты уравнения плоскости ABC,
$A_2,B_2,C_2,D_2$ - коэффициенты уравнения плоскости ABD,
$A_3,B_3,C_3,D_3$ - коэффициенты уравнения плоскости ACD,
$A_4,B_4,C_4,D_4$ - коэффициенты уравнения плоскости BCD,
$A_5,B_5,C_5,D_5$ - коэффициенты уравнения плоскости ABC для точки Y,
$A_6,B_6,C_6,D_6$ - коэффициенты уравнения плоскости ABD для точки Y,
$A_7,B_7,C_7,D_7$ - коэффициенты уравнения плоскости ACD для точки Y,
$A_8,B_8,C_8,D_8$ - коэффициенты уравнения плоскости BCD для точки Y.

Для решения данной системы уравнений нам понадобятся уравнения плоскостей, которые мы опустим для краткости.

После решения этой системы, найденное значение радиуса $r$ будет радиусом вписанной сферы тетраэдра ABCD.

Итак, решим данную систему уравнений и найдем значение радиуса вписанной сферы тетраэдра ABCD.