Каков тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды, если одна

Sladkiy_Assasin

43

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу подробно. Для начала, нам понадобится изображение правильной треугольной пирамиды для более наглядного объяснения. Представим, что у нас есть такая пирамида:

A
/|\
/ | \
/ | \
B---C---D
\ | /
\ | /
\|/
E

Где A, B, C, D и E - вершины пирамиды, а BCDE - ее основание. Допустим, заданный биссектрисой основания является отрезок BD, и его длина равна 6. Высоту пирамиды обозначим как h.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойством правильной треугольной пирамиды, согласно которому высота, проведенная из вершины пирамиды, перпендикулярна основанию и проходит через центр основания. То есть, отрезок AE является высотой пирамиды и делит две боковые грани пирамиды на равные треугольники.

Теперь рассмотрим треугольник ABE:

A
/|
/ |
/ |
B---E

Так как треугольник ABE является правильным (из-за свойства боковой грани пирамиды), мы знаем, что все его углы равны 60 градусам. Более того, так как у нас есть биссектриса BD, то угол BAD также равен 60 градусам.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABD:

A
/|
/ |
/ |
B---D

У нас есть биссектриса BD, которая разделяет угол A в треугольнике ABD на два равных угла. Так как угол BAD равен 60 градусам, каждый из этих углов будет равен 30 градусам.

Теперь мы можем использовать определение тангенса для решения задачи. Тангенс угла между двумя плоскостями можно определить как отношение длины перпендикуляра, опущенного из общей вершины этих плоскостей, к расстоянию между вершиной и точкой, в которой перпендикуляр пересекает основание пирамиды.

В нашем случае, этот угол находится между плоскостью боковой грани пирамиды (плоскость BCD) и плоскостью основания пирамиды (плоскость BCDE). Перпендикуляр опущен из вершины A пирамиды к основанию BCDE и пересекает основание в точке E. Мы знаем, что AE - это высота пирамиды, а BD - это биссектриса основания.

Так как угол ABD в треугольнике ABD равен 30 градусам, мы можем применить определение тангенса следующим образом:

\tan(\text{угол между плоскостями}) = \frac{\text{длина перпендикуляра}}{\text{расстояние между вершиной и точкой пересечения перпендикуляра с основанием}}

В нашем случае, длина перпендикуляра - это высота пирамиды AE, которая равна h, и расстояние между вершиной A и точкой пересечения перпендикуляра с основанием - это половина основания пирамиды BC, то есть \frac{BC}{2}. Также мы знаем, что BD равна 6.

Используя все эти данные, мы можем записать тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания следующим образом:

\tan(\text{угол между плоскостями}) = \frac{AE}{\frac{BC}{2}}

Так как треугольник ABE - правильный треугольник, то сторона AB равна стороне AE, и мы можем записать:

\tan(\text{угол между плоскостями}) = \frac{AB}{\frac{BC}{2}}

Поскольку сторона AB - это половина длины биссектрисы основания BD, то есть \frac{6}{2} = 3, мы можем заменить AB на 3:

\tan(\text{угол между плоскостями}) = \frac{3}{\frac{BC}{2}}

Теперь нам нужно найти длину основания пирамиды BC. Мы знаем, что BC - это сторона треугольника BCD, которая равна стороне BD, так как треугольник BCD - правильный треугольник.Мы уже знаем, что BD равна 6, поэтому BC также равна 6.

Подставляя все значения, мы получаем:

\tan(\text{угол между плоскостями}) = \frac{3}{\frac{6}{2}}

= \frac{3}{3}

= 1

Итак, тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 1.