Каков угол между боковой гранью и основанием правильной шестиугольной пирамиды, если высота пирамиды вдвое меньше

Radio

45

Чтобы найти угол между боковой гранью и основанием правильной шестиугольной пирамиды, нам понадобится использовать геометрические свойства этой фигуры.

Дано, что высота пирамиды вдвое меньше стороны основания. Обозначим сторону основания как \(a\), а высоту пирамиды как \(h\).

Сначала найдем высоту боковой грани пирамиды. Для этого построим прямую, проходящую через вершину пирамиды и перпендикулярную ее основанию. Эта прямая будет совпадать с высотой боковой грани.

Очевидно, что высота боковой грани разбивает пирамиду на два треугольника. Один из них — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне основания, и катетом, равным половине стороны основания (т.к. высота вдвое меньше стороны основания). Второй треугольник — равнобедренный треугольник, имеющий катеты, равные половине стороны основания.

Теперь приступим к вычислениям. В прямоугольном треугольнике используем теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы, обозначим её как \(c\):

\[c^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2\]

\[c^2 = \frac{a^2}{4} + a^2\]

\[c^2 = \frac{5a^2}{4}\]

\[c = \frac{a\sqrt{5}}{2}\]

Так как второй треугольник равнобедренный, то угол между его основанием и высотой равен:

\[\alpha = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\]

Теперь нам осталось найти угол между боковой гранью и основанием пирамиды, обозначим его как \(\beta\). Так как боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с катетами \(a\) и \(c\), то можем использовать теорему косинусов:

\[\cos \beta = \frac{c}{a}\]

\[\beta = \arccos\left(\frac{c}{a}\right)\]

\[ \beta = \arccos\left(\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{a}\right)\]

Мы можем упростить выражение, подставив \(c = \frac{a\sqrt{5}}{2}\):

\[\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\]

Как результат, угол \(\beta\) между боковой гранью и основанием правильной шестиугольной пирамиды равен:

\[\beta ≈ 0.5236 радиан \approx 30°\]

Таким образом, угол между боковой гранью и основанием пирамиды примерно равен 30 градусам.