Каков угол между плоскостями АВС и СА1В1 в прямоугольной треугольной призме АВСА1В1С1, основание которой является

Dmitrievna_930

33

Для того чтобы найти угол между плоскостями АВС и СА1В1, мы можем использовать свойство косинуса. Найдем косинус этого угла, зная координаты векторов, лежащих в данных плоскостях. Пусть \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это направляющие векторы плоскостей АВС и СА1В1 соответственно.

Направляющие векторы плоскости АВС:
\(\mathbf{a_1} = \begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{a_2} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{a_3} = \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}\)

Направляющие векторы плоскости СА1В1:
\(\mathbf{b_1} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{b_2} = \begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{b_3} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}\)

Для вычисления скалярного произведения \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) умножим соответствующие компоненты векторов и сложим результаты:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_{1x}b_{1x} + a_{1y}b_{1y} + a_{1z}b_{1z} + a_{2x}b_{2x} + a_{2y}b_{2y} + a_{2z}b_{2z} + a_{3x}b_{3x} + a_{3y}b_{3y} + a_{3z}b_{3z}\)

Вычисление нормы (длины) векторов получается из формулы:

\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

Теперь мы можем подставить значения и вычислить косинус угла:

\[
\begin{aligned}
\|\mathbf{a}\| &= \sqrt{4^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{41} \\
\|\mathbf{b}\| &= \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{26} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 5 + 0 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0 \\
\end{aligned}
\]

\(\cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{41} \sqrt{26}} = 0\)

Так как косинус угла равен нулю, это означает, что угол между плоскостями АВС и СА1В1 равен 90 градусов.