Каков вектор MN в терминах векторов AB = a и AD, если N и M - середины сторон BC и CD трапеции ABCD (рис. 44)?

Sonechka

70

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства серединных перпендикуляров в трапеции.

Давайте рассмотрим рис. 44 и векторы AB и AD.

\[AB = a \]
\[AD = -a \]

Мы знаем, что N - середина стороны BC, а M - середина стороны CD.

Так как N является серединой стороны BC, то вектор BN равен вектору NC. Поэтому можем записать:

\[BN = \frac{1}{2} (AB + BC)\]

Таким же образом, поскольку M является серединой стороны CD, вектор MC равен вектору MD:

\[MC = \frac{1}{2} (CD + (BC + CD))\]

Теперь нам нужно представить BC и CD через векторы AB и AD, используя свойства трапеции.

BC можно представить в виде суммы AB и BC:

\[BC = AB + BC = AB + BD\]

CD также можно представить как сумму BC и CD:

\[CD = BC + CD = BC + (AB + AD)\]

Теперь мы можем подставить эти выражения в наши формулы для BN и MC:

\[BN = \frac{1}{2} \left( AB + (AB + BD) \right) = AB + \frac{1}{2} BD\]

\[MC = \frac{1}{2} \left( (AB + BD) + \left( AB + (AB + AD) \right) \right) = AB + BD + \frac{1}{2} AD\]

Наконец, чтобы найти вектор MN, мы можем вычесть вектор MC из вектора BN:

\[MN = BN - MC = \left( AB + \frac{1}{2} BD \right) - \left( AB + BD + \frac{1}{2} AD \right) = \frac{1}{2} BD - \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} (BD - AD)\]

Таким образом, вектор MN равен половине разности векторов BD и AD.

\[MN = \frac{1}{2} (BD - AD) \]

Вот и получили ответ.