Каков закон движения антрацита, проходящего расстояние во времени, при скольжении с нулевой начальной скоростью

Barbos

59

Для решения данной задачи мы можем использовать законы движения и законы Ньютона.

Дано:
Начальная скорость антрацита (\(v_0\)) - 0 м/с (нулевая начальная скорость)
Угол наклона желоба (\(\theta\)) - 30°
Требуется найти закон движения антрацита в зависимости от времени (\(s(t)\)) и коэффициент трения (\(μ\)).

Закон движения антрацита описывается уравнением:
\[s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\]
где \(s_0\) - начальное положение (в данном случае равно 0, так как начальное положение равно началу желоба),
\(v_0\) - начальная скорость (в данном случае равна 0 м/с),
\(t\) - время,
\(a\) - ускорение.

Ускорение антрацита можно выразить с помощью закона Ньютона:
\[F_{\text{трения}} = \mu \cdot F_{\text{поддерживающая}}\]
\[m \cdot g \cdot \sin(\theta) = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta)\]
где \(F_{\text{трения}}\) - трение, \(F_{\text{поддерживающая}}\) - поддерживающая сила (в данном случае это вес антрацита),
\(m\) - масса антрацита,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(\theta\) - угол наклона желоба,
\(\mu\) - коэффициент трения.

Мы знаем, что \(g = 9.8\) м/с² (приближенное значение для ускорения свободного падения на Земле).

Теперь мы можем решить уравнение для \(a\):
\[m \cdot g \cdot \sin(\theta) = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta)\]
\[\mu = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\]
\[\mu = \tan(\theta)\]

Подставляя полученное значение \(\mu\) в уравнение движения, получим:
\[s(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \mu \cdot g \cdot t^2\]
\[s(t) = \frac{1}{2} \cdot \mu \cdot g \cdot t^2\]

Таким образом, закон движения антрацита будет задан уравнением \(s(t) = \frac{1}{2} \cdot \mu \cdot g \cdot t^2\), где \(s(t)\) - расстояние, пройденное антрацитом за время \(t\), \(\mu\) - коэффициент трения, \(g\) - ускорение свободного падения.

Учитывая данное условие при скольжении с нулевой начальной скоростью, интересующее нас уравнение примет вид:
\[s(t) = \frac{1}{2} \cdot \mu \cdot g \cdot t^2\]

Подставляя известные значения, получим:
\[s(t) = \frac{1}{2} \cdot \tan(30°) \cdot 9.8 \cdot t^2\]
\[s(t) = 4.9 \cdot t^2\]

Таким образом, закон движения антрацита, проходящего расстояние во времени при скольжении с нулевой начальной скоростью по стальному желобу с уклоном в 30°, описывается уравнением \(s(t) = 4.9 \cdot t^2\). Коэффициент трения (\(\mu\)) равен \(\tan(30°)\).