Каков закон распределения случайной величины X - числа готовых изделий без брака? Каково математическое ожидание

Zolotoy_Robin Gud

19

Задачей является определение закона распределения случайной величины \(X\), которая представляет собой количество готовых изделий без брака. Для этого необходимо знание вероятностей \(p_1 = 0.2\), \(p_2 = 0.9\) и \(p_3 = 0.7\).

Закон распределения случайной величины определяется с помощью функции распределения вероятности. Для начала, необходимо установить диапазоны значений случайной величины \(X\).

Так как количество готовых изделий без брака не может быть отрицательным числом и положительным числом одновременно, диапазоном значений \(X\) являются натуральные числа, начиная с 0. Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & 0.2 \\
1 & 0.9 \\
2 & 0.7 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Таким образом, закон распределения случайной величины \(X\) имеет следующий вид:

\[
\begin{align*}
P(X = 0) &= 0.2 \\
P(X = 1) &= 0.9 \\
P(X = 2) &= 0.7 \\
\end{align*}
\]

После определения закона распределения, можем перейти к вычислению математического ожидания случайной величины \(X\).

Математическое ожидание случайной величины \(X\) вычисляется по формуле:

\[
E(X) = \sum_{i}X_i \cdot P(X_i)
\]

где \(X_i\) - значение случайной величины, а \(P(X_i)\) - вероятность этого значения.

Применяя формулу для нашего случая:

\[
E(X) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.9 + 2 \cdot 0.7
\]

Рассчитываем:

\[
E(X) = 0 + 0.9 + 1.4 = 2.3
\]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины \(X\) равно 2.3.

Далее, перейдем к вычислению дисперсии случайной величины \(X\).

Дисперсия случайной величины \(X\) вычисляется по формуле:

\[
Var(X) = E((X - E(X))^2)
\]

Применяя формулу для нашего случая:

\[
Var(X) = (0 - 2.3)^2 \cdot 0.2 + (1 - 2.3)^2 \cdot 0.9 + (2 - 2.3)^2 \cdot 0.7
\]

Вычисляем:

\[
Var(X) = (-2.3)^2 \cdot 0.2 + (-1.3)^2 \cdot 0.9 + (-0.3)^2 \cdot 0.7 = 2.41
\]

Таким образом, дисперсия случайной величины \(X\) равна 2.41.

Наконец, перейдем к вычислению среднего квадратического отклонения случайной величины \(X\).

Среднее квадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

\[
\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}
\]

Вычисляем:

\[
\sigma(X) = \sqrt{2.41} \approx 1.55
\]

Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины \(X\) равно примерно 1.55.