Какова большая полуось планеты Марс, если ее синодический период составляет 780 дней? Пожалуйста, выразите ответ

Капля

70

Что интересно о синодическом периоде, так это то, что он связан с видимым движением планеты относительно Земли. Синодический период - это время между двумя последовательными встречами планеты солнечным диском, когда планета и Земля находятся на одной линии. Теперь давайте решим эту задачу.

Для начала, нам понадобится формула, связывающая синодический период и большую полуось планеты. Формула будет выглядеть следующим образом:

\[T = \frac{{2\pi a^{3/2}}}{{\sqrt{\mu}(M+m)}}\]
где
\(T\) - синодический период,
\(a\) - большая полуось планеты,
\(\mu\) - гравитационный параметр для планеты,
\(M\) - масса Солнца,
\(m\) - масса планеты.

Мы знаем, что синодический период Марса составляет 780 дней. Для подсчета большой полуоси Марса, мы также должны знать гравитационный параметр Марса, массу Солнца и массу Марса. Ниже приведены значения:

Масса Солнца (\(M\)) = \(1.989 \times 10^{30}\) кг
Масса Марса (\(m\)) = \(6.39 \times 10^{23}\) кг

Значение гравитационного параметра (\(\mu\)) для Марса можно найти, используя следующую формулу:

\[\mu = G(M+m)\]
где \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\) м³/(кг·с²)).

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в формулу для синодического периода и решить ее относительно большой полуоси (\(a\)):

\[780 = \frac{{2\pi a^{3/2}}}{{\sqrt{\mu}(M+m)}}\]

Мы можем переписать это выражение в более удобной форме:

\[a^{3/2} = \frac{{780 \sqrt{\mu}(M+m)}}{{2\pi}}\]

Теперь найдем \(a\) путем возведения обеих частей в степень \(2/3\):

\[a = \left( \frac{{780 \sqrt{\mu}(M+m)}}{{2\pi}} \right)^{2/3}\]

Астрономическая единица (А.Е.) равна среднему расстоянию от Земли до Солнца, которое составляет примерно 149,6 миллионов километров. Чтобы выразить ответ в астрономических единицах, мы разделим решение на это значение:

\[a_{AE} = \frac{{a_{km}}}{{149.6 \times 10^6}}\]

Давайте теперь вычислим значение большой полуоси Марса в астрономических единицах:

\[
a_{AE} = \frac{{\left( \frac{{780 \sqrt{\mu}(M+m)}}{{2\pi}} \right)^{2/3}}}{{149.6 \times 10^6}}
\]