Какова частота электромагнитных колебаний в кГц и индуктивность катушки, если в колебательном контуре максимальная

Sovunya

69

Для решения данной задачи нам потребуется знание формул, связанных с колебательными контурами.

Для начала рассмотрим формулу для энергии магнитного поля в колебательном контуре:

\[E = \frac{1}{2}LI^2\]

где E - энергия магнитного поля, L - индуктивность катушки, I - ток через катушку.

Мы знаем, что максимальная энергия магнитного поля составляет 1,8 ⋅ 10^−4 джоулей. Значит, мы можем записать:

\[1,8 \cdot 10^{-4} = \frac{1}{2}LI^2\]

Теперь рассмотрим формулу для частоты электромагнитных колебаний в колебательном контуре:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где f - частота колебаний, L - индуктивность катушки, C - ёмкость конденсатора.

Из данных задачи нам необходимо найти частоту колебаний в килогерцах, то есть в кГц. Чтобы найти значение частоты, нам понадобится значение индуктивности катушки, которое мы должны найти.

Теперь объединим оба уравнения, подставив значение энергии магнитного поля:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2E}{LI^2}C}}\]

Теперь рассмотрим подробно шаги для нахождения значения индуктивности L и частоты колебаний f:

1. Подставим значение максимальной энергии магнитного поля в уравнение:
\[\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2E}{LI^2}C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-4}}{LI^2}C}}\]

2. Упростим выражение в знаменателе под корнем:
\[\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-4}}{LI^2}C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-4}C}{LI^2}}}\]

3. Домножим знаменатель выражения на L, чтобы избавиться от дроби:
\[\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-4}C}{LI^2}}} \cdot L = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-4}C}{I^2}}} = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}C}{I^2}}}\]

4. Обозначим частное \(\frac{3,6 \cdot 10^{-4}C}{I^2}\) за k:
\[\frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}C}{I^2}}} = \frac{L}{2\pi\sqrt{k}}\]

5. Возведем k в степень \(\frac{1}{2}\):
\[\frac{L}{2\pi\sqrt{k}} = \frac{L}{2\pi \cdot k^{\frac{1}{2}}}\]

6. Раскроем корень из k:
\[\frac{L}{2\pi\cdot k^{\frac{1}{2}}} = \frac{L}{2\pi\cdot (3,6 \cdot 10^{-4}C / I^2)^\frac{1}{2}} = \frac{L}{2\pi\cdot (\frac{3,6 \cdot 10^{-4}C}{I^2})^\frac{1}{2}} = \frac{L}{2\pi\cdot \sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}C}{I^2}}} = \frac{L}{2\pi\cdot \sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}}{I^2C}}}\]

7. Подставим полученное выражение в формулу для частоты колебаний:
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2E}{LI^2}C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \cdot 10^{-4}}{LI^2}C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L}{2\pi\cdot \sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}}{I^2C}}}\cdot C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L}{2\pi\cdot \sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}}{I^2C}}}\cdot \frac{1}{C}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{3,6 \cdot 10^{-4}}{I^2C}}}}}\]

Таким образом, у нас получилось окончательное выражение для частоты колебаний f.

Чтобы получить численное значение частоты и индуктивности, нужно подставить известные значения в данное выражение. Однако, так как в задаче не указаны значения других переменных (тока через катушку I и ёмкости конденсатора C), мы не сможем найти численные значения частоты и индуктивности.

Но данный шаговый алгоритм поможет школьнику более понятным образом подойти к решению данной задачи и увидеть все необходимые шаги для вычисления ответа. Теперь ученик может использовать известные значения для I и C, чтобы получить численные ответы.