Какова частота колебаний тела, если максимальный модуль силы, действующей на него, равен 314 H, а максимальный модуль

Chernaya_Magiya

59

Для решения этой задачи мы можем использовать соотношение между силой \( F \), массой \( m \), и ускорением \( a \):

\[ F = m \cdot a \]

Также, мы знаем, что импульс \( p \) вычисляется как произведение массы \( m \) и скорости \( v \):

\[ p = m \cdot v \]

Мы можем выразить ускорение и скорость через периодическую функцию, такую как колебания:

\[ a = -\omega^2 \cdot x \]
\[ v = \omega \cdot x \]

где \( \omega \) - угловая скорость колебаний, а \( x \) - амплитуда колебаний.

Частота колебаний \( f \) связана с угловой скоростью \( \omega \) следующим образом:

\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]

Теперь, давайте решим задачу.

Максимальный модуль силы равен 314 H. Мы можем сказать, что этот модуль силы равен модулю максимального ускорения умноженному на массу:

\[ 314 = m \cdot a \]

Максимальный модуль импульса тела составляет 100 кг·м/с:

\[ 100 = m \cdot v \]

Но мы также можем выразить скорость через угловую скорость:

\[ v = \omega \cdot x \]

Мы знаем, что амплитуда колебаний \( x \) - это расстояние от равновесия в крайней точке колебаний. Так как данная информация в задаче отсутствует, мы не можем вычислить \( x \). Но мы можем решить задачу, используя только частоту колебаний.

Так как у нас есть только одно уравнение с двумя неизвестными (\( m \) и \( x \)), мы сможем выразить одну переменную через другую и подставить в уравнение для вычисления частоты колебаний.

Подставим выражение для \( v \) (с участием \( \omega \)) в уравнение для импульса:

\[ 100 = m \cdot (\omega \cdot x) \]

Теперь, используем второе уравнение, чтобы выразить \( m \) от \( a \):

\[ 314 = m \cdot a \]

Выразим \( m \) из второго уравнения:

\[ m = \frac{314}{a} \]

Подставим это значение \( m \) в уравнение для импульса:

\[ 100 = \frac{314}{a} \cdot (\omega \cdot x) \]

Делим обе стороны на \( \omega \cdot x \):

\[ \frac{100}{\omega \cdot x} = \frac{314}{a} \]

Теперь выразим \( \omega \) из уравнения для частоты колебаний \( f \):

\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]

Домножим обе стороны на \( 2\pi \):

\[ 2\pi \cdot f = \omega \]

Подставим это значение \( \omega \) в уравнение:

\[ \frac{100}{2\pi \cdot f \cdot x} = \frac{314}{a} \]

Теперь выразим \( a \) из уравнения для ускорения:

\[ a = -\omega^2 \cdot x \]

Подставим значение \( \omega \) из уравнения для частоты колебаний:

\[ a = -\left(\frac{2\pi \cdot f}{x}\right)^2 \cdot x \]

Упростим это уравнение:

\[ a = -\frac{4\pi^2 \cdot f^2}{x} \]

Подставим значение \( a \) в уравнение:

\[ \frac{100}{2\pi \cdot f \cdot x} = \frac{314}{-\frac{4\pi^2 \cdot f^2}{x}} \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{100x}{2\pi \cdot f \cdot x} = \frac{314x}{4\pi^2 \cdot f^2} \]

Сократим \( x \):

\[ \frac{100}{2\pi \cdot f} = \frac{314}{4\pi^2 \cdot f^2} \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{50}{\pi \cdot f} = \frac{314}{2\pi^2 \cdot f^2} \]

Сократим \( 2\pi \):

\[ \frac{50}{\pi \cdot f} = \frac{157}{\pi^2 \cdot f^2} \]

Переместим \( f \) влево и \( 50 \) вправо:

\[ \frac{\pi^2 \cdot f^2}{50} = \frac{\pi \cdot f}{157} \]

Упростим это уравнение:

\[ \pi \cdot f = \frac{50}{157} \]

Разделим обе стороны на \( \pi \):

\[ f = \frac{50}{157\pi} \approx 0.1 \, \text{Гц} \]

Таким образом, частота колебаний тела составляет примерно 0.1 Гц.

Ответ: 1) 0.5 Гц; 2) 0.8 Гц; 3) 1 Гц; 4) 1.8 Гц; 5) 0.1 Гц.