На какую высоту абсолютно упругое тело свободно падает с, если его период колебаний при падении с высоты 186,2

Solnechnyy_Podryvnik

65

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Пусть \(h\) - искомая высота, с которой тело падает.

Закон сохранения энергии утверждает, что сумма потенциальной и кинетической энергии является постоянной во время свободного падения тела. Поэтому можно записать следующее уравнение:

\[mgh = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, \(v\) - скорость тела при достижении поверхности.

Также, для тела, колебания которого исследуются, период колебаний связан с его скоростью через следующую формулу:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(k\) - коэффициент упругости тела.

В данной задаче у нас есть значение периода колебаний \(T = 186.2\) м и ускорение свободного падения \(g = 9.8\) м/с².

Для дальнейшего решения нам понадобится знание формулы, связывающей коэффициент упругости и высоту падения. Формула имеет вид:

\[k = \frac{mg}{h}\]

где \(k\) - коэффициент упругости, \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота падения.

Теперь мы можем записать уравнение для периода колебаний:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{h}}}\]

Где мы знаем все значения, кроме высоты \(h\), которую мы ищем.

Чтобы продолжить решение задачи, давайте сначала избавимся от знака корня, возведя уравнение в квадрат:

\[T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{\frac{mg}{h}}\]

Упростим уравнение, сокращая массу:

\[T^2 = 4\pi^2 \frac{1}{\frac{g}{h}}\]

Затем, избавимся от дроби, умножив числитель и знаменатель на \(h\):

\[T^2 = 4\pi^2 \frac{h}{g}\]

Наконец, разрешим уравнение относительно искомой высоты \(h\):

\[h = \frac{T^2 g}{4\pi^2}\]

Подставим известные значения в формулу:

\[h = \frac{(186.2)^2 \cdot 9.8}{4\pi^2} \approx 5500.09\]

Округлим ответ до сотых:

\[h \approx 5500.09 \, \text{м}\]