Какова длина биссектрисы угла А треугольника ABC с вершинами, отмеченными на клетчатой бумаге с размером клетки 1

Олег

13

Для решения этой задачи, давайте вначале рассмотрим определение биссектрисы. Биссектриса угла - это линия, которая делит данный угол на две равные части. То есть она делит угол таким образом, что расстояние от вершины угла до этой линии одинаково для ближайших к вершине сторон угла.

Чтобы найти длину биссектрисы угла А треугольника ABC, мы будем использовать свойство биссектрисы, которое гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению других двух сторон.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть стороны треугольника обозначены как AB, BC и AC, а биссектриса угла А обозначена как AD, где D - точка пересечения биссектрисы с противолежащей стороной.

Мы можем представить длину биссектрисы в виде выражения, используя отношение сторон треугольника:
\[\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}\]

Теперь нам нужно выразить длины сторон треугольника в сантиметрах. Поскольку каждая клетка на бумаге имеет размер 1 см x 1 см, мы можем определить длину каждой стороны, считая количество клеток.

Допустим, AB состоит из n клеток, BC - из m клеток и AC - из p клеток. Тогда длины сторон будут следующими: AB = n см, BC = m см и AC = p см.

Теперь мы можем подставить значения длин сторон в выражение ранее:
\[\frac{AD}{DB} = \frac{p}{m}\]

Так как биссектриса делит сторону BC на две части, мы можем предположить, что DB = x см и DC = (m - x) см.

Исходя из этого, мы можем сформулировать следующее равенство:
AD = x + n

Теперь мы можем решить уравнение относительно x:
\[\frac{x + n}{(m - x)} = \frac{p}{m}\]

Перекрестное умножение и упрощение дают нам:
\(xm - xp = px + np - xm\)

Объединяя подобные члены, мы получаем:
\(2xm = xp + np\)

Теперь решим это уравнение относительно x:
\(2xm = xp + np\)
\(2xm = (p + n)x\)
\(2m = p + n\)
\(x = \frac{2m}{p + n}\)

Теперь мы знаем, что DB = \(\frac{2m}{p + n}\) см и DC = \(\frac{(p + n) - 2m}{p + n}\) см.

Так как биссектриса AD - это сумма DB и DC, мы можем записать:
AD = DB + DC
AD = \(\frac{2m}{p + n}\) + \(\frac{(p + n) - 2m}{p + n}\)

Simplify:
AD = \(\frac{2m + (p + n) - 2m}{p + n}\)
AD = \(\frac{p + n}{p + n}\)

Поскольку \(p + n\) представляет собой сумму длин двух сторон треугольника, единицы измерения сокращаются и получаем:
AD = 1 см

Таким образом, длина биссектрисы угла А треугольника ABC равна 1 см или 10 мм.