Какова длина бокового ребра вписанной в конус треугольной пирамиды, если высота и радиус основания конуса равны

Evgenyevna

65

Пусть у нас есть треугольная пирамида, в которой вписан конус. Дано, что высота конуса равна \( h \), а радиус основания конуса равен \( R \).

Для начала, построим вертикальную проекцию данной пирамиды:

\[
\begin{gathered}
O \\
| \\
R | \\
| \\
A
\end{gathered}
\]

Здесь \( O \) обозначает вершину конуса, \( A \) — точку на основании пирамиды, а \( R \) — радиус основания конуса.

Давайте теперь рассмотрим плоскость, проходящую через ребро \( OA \) и ось симметрии пирамиды (общий перпендикуляр к основанию и ребру). В результате этого, наша треугольная пирамида будет сечься данной плоскостью и образует сечение - равнобедренный треугольник \( OAB \):

\[
\begin{gathered}
O \\
/ \ \\
b/ \hskip3em R \hskip3em b/ \hskip3em R \hskip3em b\\
/ \ \\
/_______\ \\
A B
\end{gathered}
\]

Здесь \( b \) обозначает длину бокового ребра пирамиды, а точки \( A \) и \( B \) являются серединами этого ребра.

Так как треугольник \( OAB \) — равнобедренный, то его высота, проведенная из вершины \( O \), будет проходить через точку \( B \) и быть перпендикулярна основанию \( AB \). Это сечение треугольной пирамиды позволяет нам рассмотреть два треугольника: прямоугольный треугольник \( OAB \) и равнобедренный треугольник \( OBA \).

У нас есть три прямоугольных треугольника, \( OAB \), \( OAR \) и \( BAR \), связанных между собой следующими соотношениями:

1. Треугольник \( OAR \) — прямоугольный, поскольку высота проведена из вершины конуса \( O \) перпендикулярна основанию конуса \( R \) (так как \( OA \) проходит через середину бокового ребра пирамиды).
2. Треугольник \( BAR \) — прямоугольный, так как он является сечением пирамиды, а основание этого сечения — боковое ребро пирамиды \( AB \), которое перпендикулярно ребру \( OA \).
3. Треугольник \( OAB \) — это общая гипотенуза для треугольников \( OAR \) и \( BAR \).

Используя данные соотношения и теорему Пифагора, мы можем найти длину прямого ребра пирамиды \( b \).

\[
\begin{align*}
b^2 &= (OA)^2 + (AB)^2 \\
b^2 &= R^2 + (2R)^2 \\
b^2 &= R^2 + 4R^2 \\
b^2 &= 5R^2 \\
b &= \sqrt{5}R \\
\end{align*}
\]

Таким образом, длина бокового ребра вписанной в конус треугольной пирамиды равна \(\sqrt{5}R\).