Какова длина боковой стороны и основания равнобедренного треугольника АВС, если известно, что высота BD равна 6

Valeriya

34

Чтобы найти длины боковой стороны и основания равнобедренного треугольника АВС, нам понадобятся определенные геометрические свойства треугольников. Давайте разберемся пошагово.

1. По свойству равнобедренных треугольников, боковые стороны AB и AC равны между собой. Пусть эта длина равна x см.

2. Также, у равнобедренных треугольников высота, опущенная из вершины на основание, является биссектрисой и медианой. В данной задаче высота BD равна 6 см.

3. Построим высоту BD, которая делит основание AC на две равные части. Обозначим точку их пересечения как точку E.

4. По свойству биссектрисы, точка E делит основание AC на две отрезка, пропорциональных соотношению длин AB и AC. То есть, \(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AC}\).

5. По определению биссектрисы, угол AEB равен половине угла А. У нас угол А равен 24°, поэтому угол AEB равен 12°.

6. Пользуясь свойствами треугольника, мы можем применить тригонометрический закон синусов к треугольнику AEB: \(\frac{AE}{\sin AEB} = \frac{AB}{\sin A}\).

7. Подставляя значения, получаем \(\frac{AE}{\sin 12°} = \frac{x}{\sin 24°}\).

8. Решим это уравнение относительно x. Умножим обе части на \(\sin 24°\) и разделим на \(\sin 12°\): \(\frac{AE \cdot \sin 24°}{\sin 12°} = x\).

9. Подставим значение AE, которое равно половине основания AC: \(\frac{\frac{AC}{2} \cdot \sin 24°}{\sin 12°} = x\).

10. Мы знаем, что угол 24° это \(\frac{1}{2}\) угла основания прямоугольного треугольника, поэтому можем использовать соответствующее тригонометрическое соотношение: \(\sin 24° = \frac{6}{AC}\).

11. Подставим это значение в выражение для x: \(\frac{\frac{AC}{2} \cdot \frac{6}{AC}}{\sin 12°} = x\).

12. Упростим выражение: \(\frac{3}{\sin 12°} = x\).

13. Подсчитаем значение синуса 12° и рассчитаем x: \(\frac{3}{\sin 12°} \approx 17.32\).

Таким образом, длина боковой стороны и основания равнобедренного треугольника равны 17.32 см.