Какова длина деревянного бруса, изготовленного из 1,2 м3 дерева, формой треугольной призмы со сторонами основания

Лев

23

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу объема треугольной призмы. Объем \(V\) треугольной призмы можно вычислить, умножив площадь основания \(S\) на высоту \(h\):

\[V = S \cdot h\]

В нашем случае, основание призмы представляет собой треугольник, поэтому мы должны сначала вычислить его площадь.

Для треугольника площадь можно найти, используя формулу Герона, которая основана на полупериметре треугольника \(p\) и длинах его сторон \(a\), \(b\) и \(c\):

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

Где полупериметр вычисляется следующим образом:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Мы знаем, что две стороны основания призмы равны 5 дециметрам, поэтому \(a = b = 5\) дм.

Теперь можем вычислить полупериметр треугольника:

\[p = \frac{5 + 5 + c}{2} = \frac{10 + c}{2} = 5 + \frac{c}{2}\]

Так как треугольник равнобедренный, то третья сторона также равна \(c = 5\) дм.

Теперь можем вычислить площадь основания \(S\):

\[S = \sqrt{\left(5 + \frac{5}{2}\right) \cdot \left(5 + \frac{5}{2} - 5\right) \cdot \left(5 + \frac{5}{2} - 5\right) \cdot \left(5 + \frac{5}{2} - 5\right)}\]

Упрощаем:

\[S = \sqrt{\left(\frac{15}{2}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right)}\]

\[S = \sqrt{\left(\frac{15 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\right)}\]

\[S = \sqrt{\frac{1875}{16}}\]

Далее, нам нужно определить высоту призмы \(h\). Для этого мы можем использовать формулу объема призмы, подставив известные значения:

\[V = S \cdot h\]

\[1.2 = \sqrt{\frac{1875}{16}} \cdot h\]

Чтобы найти высоту, выразим ее:

\[h = \frac{1.2}{\sqrt{\frac{1875}{16}}}\]

Окончательно, решим данное уравнение и найдем значение высоты призмы:

\[h = \frac{1.2}{\sqrt{\frac{1875}{16}}} \approx 0.405\]

Теперь, для определения длины деревянного бруса, нужно умножить высоту на одну из сторон основания. В данном случае, мы можем взять любую из сторон, так как они равны:

\[L = 0.405 \cdot 5 = 2.025\]

Итак, длина деревянного бруса равна 2.025 дециметра.