Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 10 см и 2 см, а угол между ними составляет 120°?

Zolotaya_Pyl_5483

69

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово:

1. Начнем с построения параллелограмма с заданными сторонами и углом.

2. Важно отметить, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, сторона AC будет равна 10 см, а сторона BD будет равна 2 см.

3. Теперь обратимся к углу между сторонами. Дано, что угол между сторонами AC и BD равен 120°.

4. Для определения длины диагоналей параллелограмма, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. В этой задаче, мы можем использовать эту теорему, так как нам известны все стороны треугольника.

5. Применим теорему косинусов к треугольнику ABD. Обозначим сторону AB как a, сторону AD как b, а угол между ними как θ.

6. Теперь мы можем записать формулу для длины диагонали AC, используя теорему косинусов:

\[AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(θ)\]

В нашем случае, сторона AB равна 10 см, сторона AD равна 2 см, а угол θ равен 120°. Подставим эти значения в формулу:

\[AC^2 = 10^2 + 2^2 - 2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot \cos(120°)\]

7. Вычислим значение косинуса угла 120°:

\[\cos(120°) = -0.5\]

8. Теперь подставим это значение в формулу:

\[AC^2 = 100 + 4 + 2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 0.5 = 100 + 4 + 40 = 144\]

Следовательно, длина диагонали AC равна \(\sqrt{144}\) см.

9. Упрощая данное выражение, получаем:

\[AC = 12\] см.

10. Проделаем те же шаги для нахождения длины диагонали BD. Диагонали параллелограмма равны, поэтому длина диагонали BD также будет равна 12 см.

Таким образом, длина диагоналей параллелограмма равна 12 см и 12 см соответственно.