Какова длина диагонали параллелепипеда с прямоугольной основой, если диагональ одной из его граней равна 5, а диагональ

Арбуз

59

Для того чтобы найти длину диагонали параллелепипеда с прямоугольной основой, у нас есть две диагонали граней, которые были даны в задаче: одна равна 5, а другая равна \(2\sqrt{6}\). Давайте воспользуемся теоремой Пифагора для решения этой задачи.

Во-первых, обратимся к прямоугольной основе параллелепипеда. Представим, что эта основа является прямоугольным треугольником. Обозначим его стороны через \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты.

Теперь вспомним, что у нас есть две диагонали граней параллелепипеда. Нам нужно найти длину гипотенузы основы параллелепипеда, чтобы использовать ее в теореме Пифагора. Мы заметим, что диагональ грани параллелепипеда образует прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\), где длина диагонали равна \(5\) и \(2\sqrt{6}\) соответственно.

Применим теорему Пифагора к каждому из прямоугольных треугольников:

Для первого треугольника, используем \(5\) как гипотенузу:

\[\sqrt{a^2 + b^2} = 5\]

Для второго треугольника, используем \(2\sqrt{6}\) как гипотенузу:

\[\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{6}\]

Мы можем квадратировать обе стороны уравнения, чтобы убрать корень:

\[a^2 + b^2 = 25 \quad \text{(1)}\]

\[a^2 + b^2 = 24 \quad \text{(2)}\]

Теперь, сравним уравнения (1) и (2) и заметим, что они отличаются только значением гипотенузы. Это означает, что катеты \(a\) и \(b\) должны быть одинаковыми в обоих треугольниках.

Таким образом, из уравнений (1) и (2) получаем:

\[a^2 + b^2 = a^2 + b^2 = 25\]

Отсюда мы видим, что сумма квадратов катетов равна 25. Зная это, мы можем легко найти значения катетов:

\[a^2 + b^2 = 25\]
\[2a^2 = 25\]
\[a^2 = \frac{25}{2}\]
\[a = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, значение каждого катета, равных \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\). Теперь мы можем найти длину диагонали параллелепипеда, применяя теорему Пифагора к нему:

\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 5^2}\]
\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25}{2} + 25}\]
\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{\frac{50 + 50 + 100}{2}}\]
\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{\frac{200}{2}}\]
\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{100}\]
\[\text{Длина диагонали} = 10\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна 10.