Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, у которого периметр основания равен 16 см, полная поверхность

Южанка

11

Давайте решим задачу поэтапно.

Шаг 1: Найдем длину диагонали основания прямоугольного параллелепипеда.
Периметр основания равен 16 см, а периметр равен сумме всех сторон основания. У прямоугольного параллелепипеда две пары равных сторон (стороны a и b), поэтому периметр можно выразить следующим образом: \(P = 2a + 2b\).

Из этого уравнения, мы можем определить значение одной стороны: \(a = \frac{P}{2} - b\).

Шаг 2: Найдем площадь основания прямоугольного параллелепипеда.
Площадь основания равна произведению двух сторон: \(S = ab\).

Шаг 3: Найдем высоту прямоугольного параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно выразить как произведение площади основания и высоты: \(V = S \cdot h\).

Из этого уравнения, мы можем определить значение высоты: \(h = \frac{V}{S}\).

Шаг 4: Найти общую поверхность прямоугольного параллелепипеда.
Общая поверхность состоит из двух оснований и трех параллельных прямоугольников. Мы можем выразить это уравнением следующим образом: \(A = 2S + 2a \cdot h + 2b \cdot h\).

Шаг 5: Найдем длину диагонали параллелепипеда.
Длина диагонали параллелепипеда может быть найдена с использованием теоремы Пифагора для треугольника, у которого сторона \(a\), сторона \(b\) и диагональ \(d\) являются сторонами. Теорема Пифагора гласит: \(d^2 = a^2 + b^2\).

Теперь давайте применим эти шаги к нашей задаче:
Шаг 1: \(a + b = \frac{16}{2} = 8 - b => a = 8 - b\).
Шаг 2: \(S = ab = (8 - b)b = 8b - b^2\).
Шаг 3: \(h = \frac{V}{S} = \frac{108}{S} = \frac{108}{8b - b^2}\).
Шаг 4: \(A = 2S + 2a \cdot h + 2b \cdot h = 2(8b - b^2) + 2(8 - b) \cdot \frac{108}{8b - b^2} + 2b \cdot \frac{108}{8b - b^2}\).
Вычислив эту формулу, мы получим \(A = 336 - \frac{54}{b} - \frac{216}{b - 8}\).
Шаг 5: По теореме Пифагора, \(d^2 = a^2 + b^2 = (8 - b)^2 + b^2\).
Вычислив эту формулу, мы получим \(d^2 = 64 - 16b + b^2 + b^2\), что можно упростить как \(2b^2 - 16b + 64\).

Мы знаем, что общая поверхность составляет 168 см^2, поэтому \(A = 168\). Зная это, можно решить следующее уравнение:
\[336 - \frac{54}{b} - \frac{216}{b - 8} = 168.\]

Решив это уравнение, мы можем найти значение b. Подставив это значение в уравнение для длины диагонали, мы сможем найти длину диагонали параллелепипеда.

Пожалуйста, расскажите, если вам нужны дополнительные шаги или вычисления, чтобы продолжить решение этой задачи.